Zeige, dass f eine Kontaktion bzgl. der euklidischen Norm ist und einen FIxpunkt in D besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei \(f: \ D\to \R^2\) gegeben durch

\( f(x,y)=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}\sin(x)+\cos^2(y)\\\cos^2(x)+\sin(y)\end{pmatrix} \) und \(D=[-1,1]^2\).

Zeige, dass \(f\) eine Kontaktion bzgl. der euklidischen Norm \(\|.\|_2\) ist und einen Fixpunkt in \(D\) besitzt.

Ansatz:

Man muss ja zeigen , dass

|f(x,y) - f(z,a)| <= L | (x,y) -(z,a)| für alle Elemente in D gilt, oder?

Wie genau macht man und bei euklidische norm muss man ja etwas unter die wurzel schreiben und quadrieren , aber wie genau?

Answer 1

Hallo :-)

Ich glaube, dass es am einfachsten ist, mit dem Banachschen Fixpunktsatz zu arbeiten. Um den hier anwenden zu können, musst du zwei Dinge über \(f\) beweisen:

1.) \(f:\ D\to D\) ist wohldefiniert (Selbstabbildung).

2.) \(f:\ D\to D\) ist Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante \(0 \leq L<1\).

Daraus kannst dann mit dem Banachschen Fixpunktsatz die eindeutige Existenz des Fixpunktes von \(f\) in \(D\) schlussfolgern.

|f(x,y) - f(z,a)| <= L | (x,y) -(z,a)| für alle Elemente in D gilt, oder?

Ja, unzwar speziell wie bei 2.), d.h mit \(0\leq L<1\). Hier benutzt man \(\|.\|_2\) statt \(|.|\).

Wie genau macht man und bei euklidische norm muss man ja etwas unter die wurzel schreiben und quadrieren , aber wie genau?

Die euklidische Norm im \(\R^d\) ist ja so definiert:

Für alle \(v:=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots \\v_d\end{pmatrix}\in \R^d\) ist \(\|v\|_2=\sqrt{|v_1|^2+...+|v_d|^2}\).

Comments

was ist dabei v1 ... vd?

ich hätte ja

\(f(x,y)=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}\sin(x)+\cos^2(y)\\\cos^2(x)+\sin(y)\end{pmatrix} \)-

\(f(z,a)=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}\sin(z)+\cos^2(a)\\\cos^2(z)+\sin(a)\end{pmatrix} \)

muss ic dann jede kompente von beiden funktionen quadrieren und addieren wie bei skalarprodukt? Wie vereinfache ich dann weiter? Irgendwie komme ich da nicht weiter

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muss ic dann jede kompente von beiden funktionen quadrieren und addieren

Im Prinzip schon. Schreib mal auf, was du bekommst, ohne jetzt alles auszurechnen. Und dann zeigst du dein Ergebnis.

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ich weiß nicht ob mans lesen kann , aber so wäre mein ansatz, ich hab ihn mal unausmultipliziert geschrieben da sonst noch komplizierter wäre.

Was ist da falsch

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \frac{1}{3} \sqrt{\left(\sin (x)+\cos ^{2}(y)^{2}+\left(\cos ^{2}(x)+\sin (y)\right)^{2}-(\right.}\left(\sin (z)+\cos ^{2}(a)\right)^{2} \\ &+\left(\cos ^{2}(\pi)+\sin (\pi)\right)^{2} \end{aligned} \)

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