Berechne das Residuenkalkül folgender cos(x) Funktion:

Question

Aufgabe:

Berechne das Residuenkalkül folgender Funktion:

$$ \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(x)}{x^2+1} * e^{ikx} dx $$

Problem/Ansatz:

So ich habe das Beispiel folgendermaßen so weit lösen können:

1.) Nullstellen x = i , x = -i

2.) das res. für +i = $$ \frac{e^{-1}* e^{-k}}{2i} $$

3.) somit ergibt sich für das gesamt residuum:

$$ 2* \pi * i (\frac{e^{-1}* e^{-k}}{2i}) = \frac{\pi}{e} * e^{-k} $$

Jedoch wurde mir gesagt dies sei nur die halbe antwort, was würde denn fehlen? Muss ich noch hinschreiben dass der sinusteil 0 ergibt? Ich bräuchte bitte eine Ausführliche Antwort um es gut verstehen zu können und wäre sehr dankbar dafür!

Answer 1

Hallo,

\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos (x)}{x^{2}+1} d x \)

\( =\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos (x)}{x^{2}+1} d x+i \underbrace{\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{sin(x)}{x^{2}+1} d x}_{=0} \)
\( =\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{x^{2}+1} d x \)

cos(x) /(x^2+1) = e^(ix) /(x^2+1)

-->f(z)=( e^(iz) *e^(i k z)) /(z^2+1) ; Sinusteil= 0, weil Integrand ungerade

-->Singularitäten : z^2+1=0 ---->z1,2= ± i → -i entfällt, weil außerhalb des oberen Halbkreises

-->Pol 1. Ordnung

-->f(z)= lim(z -->z0) (z-z0) f(z)

f(i) = lim z-->i ( (z- i) *e^((iz(1+k))  /(z+i)(z-i))

f(i)= lim z-->i ( e^((iz(1+k))  /(z+i))

f(i)=( e^(-1-k)) /2i)

--->Residuum=  2π i( ( e^(-1-k)) /2i)

= π (e^(-1-k))

=π/e *e^(-k)

Comments

Hi,

erstmal danke für deine ausführliche Antwort, sprich ich habe nur vergessen zu zeigen, dass der sin teil wegfällt.

Habe ausserdem vergessen zu erwähnen dass in der Angabe vorkam, dass

$$ -1 < k < 1$$ vorgegeben ist, ändert dies etwas am ergebnis ?

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Wichtiger Hinweis:

diese Rechnung gilt für den Fall k=0

Für k ≠ 0 ist das Sinus Integral nicht = Null, sondern ≠0.

Es muß betreffs -1 <k<1 für cos(x) =(e^(ix ) +e^(-ix))/2 angesetzt werden.

Damit lautet der Wert dann: (π /e)   * cosh(k)