Die Gruppe \(G:=GL(2,K)\) der invertierbaren Matrizen operiert auf der
Menge aller 2x2-Matrizen \(K^{2\times 2}\) über \(K\) durch
\(G\times K^{2 \times 2}\rightarrow K^{2\times 2},\; (A,M)\mapsto A\cdot M\cdot A^{-1}\).
Die Klassen ähnlicher Matrizen sind gerade die Bahnen dieser Operation.
Die Anzahl der Elemente in der Bahn von \(M\) ist
gleich der Anzahl Elemente von \(G\) geteilt durch die Anzahl der Elemente
des Stabilisators \(S_M\) von \(M\), also in unserem Falle gleich der Anzahl
Matrizen aus \(G\), die mit \(diag(\alpha,\beta)\) vertauschbar sind.
(i) Bestimme also zuerst die Anzahl der Elemente aus \(G\) und dann
die der invertierbaren Matrizen, die mit \(diag(\alpha,\beta)\) vertauschbar sind
und bilde den Quotienten.
Zur Bestimmung der Anzahl Matrizen in \(G\):
Eine quadr. Matrix ist genau dann invertierbar, wenn
ihre Spalten linear unabhängig sind, also in unserem Falle
eine geordnete Basis des \(K^2\) bilden. Wir bestimmen also die
Anzahl aller geordneter Basen von \(K^2\):
Für den ersten Basisvektor können wir jeden Vektor \(\neq 0\) wählen,
das sind \(q^2-1\) Möglichkeiten.
Der zweite Basisvektor darf kein skalares Vielfaches des ersten sein,
so dass man für diesen \(q^2-1-(q-1)=q^2-q\) Möglichkeiten bekommt.
Es gilt somit \(|G|=(q^2-1)(q^2-q)\).
Nun schauen wir, welche invertierbaren Matrizen mit
\(diag(\alpha,\beta)\) vertauschbar sind:
Es sind gerade alle Diagonalmatrizen \(diag(x,y)\) mit \(x,y\neq 0\).
Das sind \((q-1)^2\) Matrizen, also lautet die Lösung von (i):
In der Ähnlichkeitsklasse von \(diag(\alpha,\beta)\) liegen
\((q^2-1)(q^2-q)/(q-1)^2=q(q+1)\) Matrizen.
