Anfangswertproblem lösen inhomogene /homogene

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem y(0)=1, y‘(0)=0 für die lineare Differentialgleichung
+ 4 = sin (2)
Hinweis: Da der inhomogene Term die homogene Differentialgleichung erfüllt, muss für die inhomogene
Lösung der Ansatz yi(x)=x(a∙cos(2x)+b∙sin(2x)) gewählt werden.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann jemand mir bitte sagen wie diese Aufgabe lösen kann.

Danke sehr im Voraus

Comments

Wie lautet die DGL?

Answer 1

Hallo

es muss wohl y''+4y=sin(2x) sein. dann homogen : y''=-4y

man weiss dass sin und cos als 2 te Ableitung wieder sin bzw cos sind, deshalb  die allgemeine Lösung y=Asin(2x)+Bcos(2x) (zur Probe 2 mal ableiten sollte man wenn man noch unsicher ist)

jetzt den gegebenen Ansatz 2 mal ableiten ( das ist die Hauptarbeit) in die Dgl einsetzen und daraus a und b bestimmen durch Koeffizientenvergleich .Faktor der sin Terme 1 , der cos Terme 0

jetzt bist du dran notfalls nachfragen.

Zusatz:  lies deine posts immer vor dem Abschicken in Vorschau, dann passiert so ein Unsinn, wie du schreibst  nicht.

Am Ende dann die Anfangsbedingungen einsetzen um A und B zu bestimmen

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Wie lautet die DGL? Ich habe herausgefunden:

y'' +4y=sin(2x)

1. Ermittlung der homogenen Lösung:

Ansatz: y=e^(kx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

------->Charakt.Gleichung :k^2 +4=0

k_1,2= ± 2i ------>yh= C₁ cos(2x) +C₂ sin(2x)

2.Ansatz yp 2 mal ableiten und in die DGL einsetzen.

y_p=x(a∙cos(2x)+b∙sin(2x))

y_p'=(b-2ax) sin(2x) +(2bx+a) cos(2x)

y_p'' =-4((bx+a) sin(2x) +(ax-b) cos(2x))

---->

-4bx sin(2x)-4a sin(2x)-4ax cos(2x)+4b cos(2x)+4xa cos(2x) +4xb sin(2x)= sin(2x) (vereinfachen)

-4a sin(2x)+4b cos(2x)= sin(2x)

3.Koeffizientenvergleich durchführen

sin(2x) : -4a =1 --->a=-1/4

cos(2x): 4b=0 ----->b=0

yp=yp=x(a∙cos(2x)+b∙sin(2x)) = -x/4 cos(2x)

y=yh+yp =C₁ cos(2x) +C₂ sin(2x) -x/4 cos(2x)

4. Anfangsbedingungen in die Lösung einsetzen:

y(0)=1 : C₁=1

y'(0)=0 :

y'=x/2 *sin(2x) -cos(2x)/4 -2C1 sin(2x) +2 C2 cos(2x)

0= 0 -1/4 -0+ 2 C2 ->C₂=1/8

--->5.Endergebnis:

y=C₁ cos(2x) +C₂ sin(2x) -x/4 cos(2x)

y= cos(2x) +1/8 *sin(2x) -x/4 cos(2x)