Wie finde ich zwei Funktionen 4. Grades?

Question

Hallo liebe Community,

Ich habe gerade ein Problem, welches ich schon seit zwei Stunden zu lösen versuche.

Man hat dieses gegeben Punkte und soll eine Umgehungsstraße planen, welche durch den Punkt A(0|4), den Punkt C(2|1) und durch den Punkt B(4|0) verläuft. Dies habe ich mit einer Funktion 6. Grades gelöst, bis hier hin ist also alles gut… :))

Jetzt soll ich aber zwei ganzrationale Funktionen 4. Grades finden, welche das Gleiche beschreiben. Die eine Funktion soll von A nach C und die andere von C nach B verlaufen. Die Punkte A, C und B müssen alle sprungfrei, knickfrei und krümmungsruckfrei sein.

Ich habe nun zum Einen das Problem, dass ich Steigung, sprich die erste Ableitung von C nicht kennen und zum Anderen das Problem, dass ich pro Funktion 4. Grades 6 Bedingungen habe und so das Gleichungssystem nicht gelöst kriege.

Ich hoffe auf eine gute Antwort !

Liebe Grüße

Vladimir

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Ich verstehe das so, dass bei C die gleiche Steigung wie bei A und B sein muss, und zwar -1.

Damit komme ich auch auf eine Funktion 4. Grades für die Umgehung von A durch C nach B.

\(f(x)=-\frac{1}{16}x^4+0,5x^3-x^2-x+4\)

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Hallo liebe Silvia,

Vielen Dank erst einmal für Deine Antwort ! Das was ich meinte ist, dass ich zwei Funktionen 4. Grades benötige. Die eine Funktion von A nach C und die andere Funktion von C nach B. Beide Funktionen sollen also voneinander getrennt sein, aber sprungfrei, knickfrei und krümmungsruckfrei.

Answer 1

Deine Bedingungen sollten so aussehen:

f(0) = 4
f'(0) = -1
f''(0) = 0

f(2) = 1
g(2) = 1
f'(2) = g'(2)
f''(2) = g''(2)

g(4) = 0
g'(4) = -1
g''(4) = 0

Damit hast du genau 10 Bedingungen für 10 Unbekannte. Das kann man lösen und ich erhalte:

f(x) = 0.1875·x^4 - 0.5·x^3 - x + 4
g(x) = 0.1875·x^4 - 2.5·x^3 + 12·x^2 - 25·x + 20

Skizze:

~plot~ (0.1875x^4-0.5x^3-x+4)*(x>0)*(x<2);(0.1875x^4-2.5x^3+12x^2-25x+20)*(x>2)*(x<4);{0|4};{2|1};{4|0};[[-1|8|-1|6]] ~plot~

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Vielen Dank für die hilfreiche Antwort ! Sie hat mir ehrlich geholfen.

Ist es egal wie ich die Bedingungen auf die Beiden Funktionen aufteile ?

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Ist es egal wie ich die Bedingungen auf die Beiden Funktionen aufteile ?

Du teilst die Bedingungen ja nicht auf. Du brauchst schon 6 Bedingungen für jede Funktion. Allerdings ist halt die Bedingung für Funktion f und g an der Stelle 2 das die erste und zweite Ableitungen nur übereinstimmen müssen ohne deren Wert zu kennen.

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Vielen Dank ! Also kann ich mir die Steigung in Punkt (2|1) aussuchen ?

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Also kann ich mir die Steigung in Punkt (2|1) aussuchen ?

Nein - Steigung und "Krümmung" müssen aber in diesem Punkt bei beiden Funktionen gleich sein (s. Antwort vom Mathecoach). Also$$f'(2) = g'(2) \\ f''(2) = g''(2)$$das sind zwei von 10 Bedingungen.

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Würde man sich Steigung und Krümmung an der Stelle 2 aussuchen können, dann braucht man 2 Funktionen 6. Grades und es langen nicht 2 Funktionen 4. Grades.

Answer 2

Es wäre hilfreich die Fragenstellung konkret zu kennen...

Es handelt sich um Splinefunktionen. Üblicherweise werden quadratische oder kubische Splines verwendet.

Polynome Grad 4 haben 5 variablen und keine 6

p(x)=a14 x^4+a13 x³ + a12 x² + a11 x + a10

Ein Polynom durch 3 Punkte mit festen Steigungen an den Rändern würde mit Grad 4 auskommen, warum also Grad 6?

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Hallo lieber Wächter :),

Vielen Dank für deine Antwort !

Die genaue Aufgabenstellung lautet:

„Um Funktionen mit hohem Grad zu vermeiden, kann man auch zwei ganzrationale Funktionen vierten Grades ermitteln, deren Graphen die Punkte A und C beziehungsweise C und B miteinander verbinden. Dabei ist natürlich dafür zu sorgen, dass auch in C ein knickfreier und krümmungsruckfreier Übergang vorliegt.“

Ich weiß das Polynome 4. Grades 5 Variablen haben, jedoch habe ich wenn ich eine Funktionsgleichung zwischen A und C finden will 6 Bedingungen.

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Es wäre hilfreich die Fragenstellung konkret zu kennen.. steht doch da
Polynome Grad 4 haben 5 variablen 3+3+4 = 5+5

Und die Lösung sieht so

aus.