Wie kann man folgende Beziehung beweisen?

Question

Aufgabe:

Wie kann man folgende Beziehung beweisen?

\( k \cdot\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=n \cdot\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Was soll das sein? Könntet ihr mir helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$\frac nk\binom{n-1}{k-1}=\frac nk\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot((n-1)-(k-1))!}=\frac nk\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-1-k+1)!}$$$$\phantom{\frac nk\binom{n-1}{k-1}}=\frac nk\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}=\frac{\red{n\cdot(n-1)!}}{\green{k\cdot(k-1)!}\cdot(n-k)!}=\frac{\red{n!}}{\green{k!}\cdot(n-k)!}=\binom{n}{k}$$Durch Multiplikation beider Seiten mit \(k\) folgt die zu zeigende -beziehung.

Answer 2

Es geht hier um einen Zusammenhang zwischen Binomialkoeffizienten:

\(k\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}\).

Das ist zu zeigen.

Answer 3

\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) ist ja nichts anderes als \( \frac{n!}{(n-k)! k!} \). Damit ist k\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \)=  k \( \frac{n!}{(n-k)! k!} \) =  \( \frac{n!}{(n-k)! (k-1)!} \) (hier einfach ein k gekürzt).

Betrachten wir nun die andere Seite:
\( \begin{pmatrix} {n-1} \\{k-1} \end{pmatrix} \)=   \( \frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))! (k-1)!} \)= \( \frac{(n-1)!}{(n-1-k+1)! (k-1)!} \) = \( \frac{(n-1)!}{(n-k)! (k-1)!} \)

Das ganze jetzt noch mal n:

n \( \begin{pmatrix} {n-1} \\{k-1} \end{pmatrix} \) = n  \(\frac{(n-1)!}{(n-k)! (k-1)!} \)

n (n-1)! = n!.

Also ist das gleich

\(\frac{(n)!}{(n-k)! (k-1)!} \) = k \( \frac{n!}{(n-k)! k!} \) = k\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \)

Answer 4

Wenn ein Verein mit n Mitgliedern einen Vorstand bestehend aus k Mitgliedern inklusive eines Vorsitzenden bestimmen soll, so können zunächst aus allen n Vereinsmitgliedern die k Vorstandsmitglieder ausgewählt und unter diesen der Vorsitzende bestimmt werden oder es wird zunächst der Vorsitzende ermittelt und von den restlichen n-1 Vereinsmitgliedern dann die restlichen k-1 Vorstandsmitglieder.