Konvergiert die Reihe ':

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz/ absolut Konvergenz

Problem/Ansatz:

∑n=1 bis ∞ (2n+1/n^2 -1)^n

Comments

Meinst du eigentlich$$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2n+1}{n^2-1})^n$$Für \(n=1\) ist der Summand nicht definiert.

Answer 1

Aloha :)

Die Reihe müsste bei \(n=2\) beginnen, weil man für \(n=1\) durch \(0\) dividieren würde.

Wir prüfen die Reihe auf absolute Konvergenz mit Hilfe des Wurzelkriteriums für \(n\ge2\):$$\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{2n+1}{n^2-1}\right)^n}=\frac{2n+1}{n^2-1}=\frac{2n+1}{(n-1)(n+1)}<\frac{2n+2}{(n-1)(n+1)}$$$$\phantom{\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{2\pink{(n+1)}}{(n-1)\pink{(n+1)}}=\frac{2}{n-1}\to0<1$$

Die Reihe konvergiert daher absolut.