Berechnen Sie mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise den Wert für x, für den gilt P ( Y ≤ x) = 0.08.

Question

DIe stetigen Zufallsvariablen Xi (i=1,....770) sind unabhängig und gleichverteilt im Intervall [1,28].

Die Zufallsvariable Y sei gegeben durch:

Y = 2.12*X1 + 2.12 * X2 + ..... 2.12 * X770

Berechnen Sie mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise den Wert für x, für den gilt P ( Y ≤ x) = 0.08.

Mein Rechenweg:

E(X) = (2.12 * (1+28)/2)) * 770 = 23669,8

Var(X) = (2.12^2 * (1+28)/2)) * 770 = 50179,98

0.08 - 23669,8 / sqrt(50179,98) = -105,6642

Irgendwo liegt mein Fehler, da das Ergebnis nicht stimmen kann.. kann mir bitte jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?

Answer 1

Wenn Erwartungswert und Varianz richtig sind, müsste gelten

NORMAL((x - 23669.8)/√50179.98) = 0.08

Löse das nach x auf. Ich erhalte: x = 23355

Comments

Hmm... das Ergebnis sollte 23025,54 sein. Möglicherweise liegt mein Fehler dann bereits bei der inkorrekten Berechnung von Erwartungswert und/oder Varianz.

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Hm. Verrate mir doch mal wie du die Varianz berechnet hast und warum. Ich bekomme dort auf jeden Fall etwas anderes heraus. Und wenn ich mit meiner Varianz rechne kommt auch das richtige für x heraus. Also da solltest du nochmals nacharbeiten.

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Ich hab diese so wie oben im Anfangstext erläutert berechnet - bei einem anderen Beispiel, welches ein Intervall gegeben hatte, kam damit die korrekte Lösung heraus.

Wie müsste ich die Varianz hier sonst aufstellen?

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Du weißt aber schon wie die Varianz als Rechnung definiert ist oder ?

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Naja sagen wir so, ich tu mir damit echt sehr schwer

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Die Varianz ist nicht richtig. Stetig gleichverteilte Zufallsvariablen \(X\sim \mathcal{U}(a,b)\) haben als Varianz \(\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2\). Das bedeutet:$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(2.12(X_1+\cdots +X_{770}))&=2.12^2(770\operatorname{Var}(X_1))\\ &=2.12^2\cdot 770\cdot \frac{1}{12}(28-1)^2 = 210236.796 \end{aligned}$$

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Verstehe! Vielen Dank!!!

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Für eine gleich verteilte Zufallsgröße X im Intervall [a ; b] gilt:

Erwartungswert

E(X) = ∫ (a bis b) (x/(b - a)) dx = (a + b)/2

Varianz

V(X) = ∫ (a bis b) (x^2/(b - a)) dx - ((a + b)/2)^2 = (b - a)^2/12

Diese Formeln sollte man sich bei Bedarf herleiten können.

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Vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

die Varianz ist nicht richtig. Stetig gleichverteilte Zufallsvariablen \(X\sim \mathcal{U}(a,b)\) haben als Varianz \(\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{12}(b-a)^2\). Das bedeutet:$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(2.12(X_1+\cdots +X_{770}))&=2.12^2(770\operatorname{Var}(X_1))\\ &=2.12^2\cdot 770\cdot \frac{1}{12}(28-1)^2 = 210236.796 \end{aligned}$$ Es gilt nun nach dem zentralen Grenzwertsatz, dass die standardisierte Zufallsvariable in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable konvergiert. $$Y^*=\frac{Y-E(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}=\frac{Y-23669.8 }{\sqrt{210236.796}}=\frac{Y-23669.8 }{\sqrt{210236.796}}=\frac{Y-23669.8}{458.516}\xrightarrow{\text{i. V.}}\mathcal{N}(0,1)$$ Es gilt dann:$$\mathbb{P}(Y\leq x)=\mathbb{P}\left(Y^*\leq \frac{x-23669.8}{458.516}\right)\approx \Phi\left(\frac{x-23669.8}{458.516}\right)=0.08$$ Löse nach \(x\).