Heisst f-1 (N1 ), dass f auf alle Elemente in N1 abbildet?

Question

Aufgabe:

Guten Tag euch allen,

bei folgender Aufgabe zur Mengenlehre geht es um den Wertebereich und die Umkehrfunktion.

Für ein ruhiges Gewissen, wüsste ich gern ob der Ansatz unten Sinn ergibt.

N₁ ⊂ N₁ → f^-1 (N₁) ⊂ f^-1 (N₂)     

Lösungsansatz:

Sei y ∈ N₁  und y ∈ N₂ #

Für jedes x ∈ f^-1 (N₁) existiert ein y ∈ N₁ mit x = f^-1 (y). Nun gilt #. So dass y ∈ N₂ . Also ist x ∈ f^-1 (N₂

Problem/Ansatz:

Heisst f^-1 (N₁ ), dass f auf alle Elemente in N₁ abbildet?

Und kann man den rot markierten Teil so hinschreiben?

LG

Answer 1

Du darfst die Umkehrfunktion nicht mit der

Bezeichnung der Urbildmenge verwechseln.

f^-1 (N1 ) ist die Urbildmenge von N1,

das sind alle Elemente von X,

die durch f auf ein Element von N1 abgebildet werden.

Da können auch schon mal mehrere Elemente auf das

gleiche y in N1 abgebildet werden, dann gibt es gar keine

Umkehrfunktion.

Richtig ist: Sei x ∈ f^-1 (N1) dann existiert ein

y ∈ N1 mit f(x) = y.

Wegen N1 ⊂ N2 ist dieses y auch in N2 und

wegen y = f(x)  ist also auch x ∈ f^-1 (N2)

Comments

Wichtig für die Aufgabe:

f: X → Y ,       N1, N2 ⊂ Y

Also:

N1⊂N2 → f^-1  (N1) ⊂ f^-1 (N2)

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Hab das jetzt öfter auf die Weise gemacht und wollte fragen ob das hier richtig wäre, damit ich das für die nächste Aufgabe weiss, also:

Sei y e N1 und y e N2 #

Für jedes x e f^-1  (N1) existiert ein y e N1 mit y = f(x). Nun gilt #, so dass y e N2. Also ist x e f^-1 (N2).

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Wenn du zeigen willst    f^-1 (N1) ⊂ f^-1 (N2)

Dann musst du anfangen mit:

Sei x∈    f^-1 (N1)

und dann argumentieren, wieso

daraus folgt   x∈    f^-1 (N2)

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Verstanden. Vielen Dank!

Dumme Frage:

Warum muss man folgendes dann nicht beweisen:

N1⊂ N2

Lg

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Es hieß ja:

N₁ ⊂ N₂ → f^-1 (N₁) ⊂ f^-1 (N₂)   

Also in Worten:

Wenn N₁ ⊂ N₂ dann  f^-1 (N₁) ⊂ f^-1 (N₂)

und eine Folgerungsaussage mit falschem Wenn-Teil

ist ja immer wahr.

Man kann also von der Wahrheit des Wenn-Teils ausgehen.

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Ja das erklärt so einiges ...