Exponentialfunktion Plastikmüll in Weltmeeren

Question

Aufgabe:

Interpretieren Sie die mathematische Beschreibung im Sachzusammenhang und überprüfen Sie sie.

Die Funktion p mit p(t) = 0,2*t*e^(-0,0625*t) +5 beschreibt die Menge an Plastikmüll, die jährlich in die Weltmeere gelangt (t in Jahren seit 2010, p(t) in Mio. Tonnen.)

a) p(0) = 5 
b) p (10) - p(5) = 0,34 
c) p'(16) = 0, p''(16) < 0

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei den drei Aufgaben. Ich verstehe nicht, was die ersten Schritte sind, die ich machen muss. Muss ich ableiten? Soll ich bei der Aufgabe a) für t immer jeweils die 0 einsetzen und schauen ob 5 rauskommt? Ich kapiere es nicht.  

Danke im voraus für die Hilfe.

Answer 1

p(t) = 0.2·t·e^(- 0.0625·t) + 5

Zuerst die Ableitung bilden

P'(t) = e^(- 0.0625·t)·(0.2 - 0.0125·t)

Jetzt die Aussagen prüfen und interpretieren.

p(0) = 5 → 2010 gelangten 5 Mio. Tonnen Plastikmüll ins Meer

p(10) - p(5) = 0.3389 → 2020 gelangten 0.3389 Mio. Tonnen Plastikmüll mehr ins Meer als 2015

p'(16) = 0 ; p''(16) = -0.004598 < 0 → 2026 wird ein lokaler Hochpunkt erwartet. Dort gelangt also besonders viel Müll ins Meer.

Comments

Hier noch der Graph der Funktion

~plot~ 0.2x*e^(-0.0625x)+5;[[0|20|0|7]] ~plot~

---

Dankeschön für die ausführliche Antwort!

Answer 2

p(t) = 0,2*t*e^(-0,0625*t) +5

a.) t = 0
p(0) = 0,2 *0* e^(-0,0625*0) +5
p (0 ) = 0 * e^0 + 5
p ( 0 ) = 0 + 5
p ( 0 ) = 5

b.)
p (10) - p(5) = 0,34
[
0,2*10*e^(-0,0625*10) +5 -
0,2*5*e^(-0,0625*5) +5
]
6.07  - 5.73 = 0.34

Comments

p ´( t ) = - e^(-0,0625*t) * ( 0.0125 * t - 0.2 )
p´ ( 16 ) = - e^(-0,0625*16) * ( 0.0125 * 16 - 0.2 )
p´ ( 16 ) = - e^(-0,0625*16) * ( 0.2 - 0.2 )
p´ ( 16 ) = - e^(-0,0625*16) * ( 0 )
p´ ( 16 ) =  0

p´´( t ) = e^(-0,0625*t)*( 0.00078125 * t - 0.025 )
p´´( 16 ) = e^(-0,0625*16)*( 0.00078125 * 16 - 0.025 )
p´´( 16 ) = -0.0125 / e

---

Vielen, vielen Dank!

Answer 3

Hallo,

a) p(0) = 5

Die Menge zu Beginn der Aufzeichnungen, also 2010 betrug 5 Millionen Tonnen.

Zur Überprüfung setzt du 0 für t ein.

b) p (10) - p(5) = 0,34

2015 gelangten 0,34 Mio t Müll weniger in die Meere als 2020 .

Setze 10 und 5 für t ein und rechne.

c) p'(16) = 0, p''(16) < 0

Wenn die 1. Ableitung einer Funktion null ist und die zweite kleiner als null, liegt ein Hochpunkt vor.

Wie könnte also die Aussage lauten?

Gruß, Silvia

Comments

Danke sehr für die Antwort!

Ich bin bei der c) davon ausgegangen, dass im Jahr 2026 also ein Hochpunkt erreicht wird, da das Ergebnis, dass für p''(16) raus kommt, ja kleiner als 0 ist.
Soll das einfach heißen, dass im Jahr 2026 besonders viel Müll im Meer gelangen wird?

Grüße, Lukas

---

Soll das einfach heißen, dass im Jahr 2026 besonders viel Müll im Meer gelangt ist?

gelangen wird statt gelangt ist. 2026 liegt ja in der Zukunft. Aber genau so habe ich es auch geschrieben und du kannst das auch recht gut am Graphen erkennen.

Beachte auch das ein lokales Maximum nicht bedeutet das dies auch das globale Maximum ist. Das erkennt man tatsächlich erst am Graphen der Funktion.

---

Alles klar, danke.