Fake-Lotto: Betrachten Sie das Spiel 6 aus 42.
Für uns sind bei dieser Aufgabe nur 3 Ereignisse relevant:
- P(6 richtige)
- P(2 richtige) und
- P(weder 2 noch 6 richtige)
Fangen wir mal mit dem schwierigsten an:
P(6 richtige)
Beim Lotto wird ja ohne Zurücklegen gezogen. Immer wenn man ohne Zurücklegen zieht, lässt sich die Hypergeometrische Verteilung anwenden:
$$\frac{\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 36\\ 0\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 42\\ 6\\\end{pmatrix}}=\frac{1}{\begin{pmatrix} 42\\ 6\\\end{pmatrix}}\approx 1.9 \text{E}-7$$ E - 7 bedeutet, dass wir ingesamt 7 Nullen schreiben, also 0.000 000 19
Falls du die Hypergeometrische Verteilung noch nicht gelernt hast, schau sie dir ruhig mal an, denn bei solchen Aufgaben ist sie sehr nützlich.
P(6 richtige) lässt sich aber auch mit der klassischen ersten Pfadregel (Produktregel) lösen.
$$\frac{6}{42}\cdot\frac{5}{41}\cdot\frac{4}{40}\cdot\frac{3}{39}\cdot\frac{2}{38}\cdot\frac{1}{37}\approx0.000000019=1.9\text{E}-7$$
Es kommt, wie du siehst das gleiche dabei raus, ist halt nur etwas mehr Schreib- und Tipparbeit.
P(2 richtige)
$$\frac{\begin{pmatrix} 6\\ 2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 36\\ 4\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 42\\ 6\\\end{pmatrix}}\approx0.16844=16.8\%$$Ich hoffe du kannst mir folgen bei der Hypergeometrischen Verteilung. Die Zahlen im Zähler oben, also 6 und 36 müssen immer die Zahl im Nenner oben ergeben, also 42. Und Die Zahlen im Nenner unten, also 2 und 4 müssen immer die Zahl unten im Nenner ergeben, also 6.
P(weder 2 noch 6 richtige)
Dies lässt sich relativ einfach berechnen, da wir die anderen Wahrscheinlichkeiten, die wir eben berechnet haben, einfach von 1 subtrahieren können. Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit ergeben zusammen immer 1.
P(weder 2 noch 6 richtige) = 1 - P(2 richtige) - P(6 richte) = 1 - 0.16844 - 0.000000019 ≈ 0.83456.
Es ist sinnvoll die Wahrscheinlichkeiten immer auf die 5-te Nachkommastellen zu runden. Wenn wir später das genaue Ergebnis haben, möchten dann sollten wir mit den Werten aus dem Taschenrechner rechnen, sonst kann es nämlich sein, dass wir das Ergebnis leicht verfälschen, wenn wir mit gerundeten Werten rechnen.
Nun haben wir alle Wahrscheinlichkeiten berechnet. Lass uns nun eine Tabelle für den Erwartungswert erstellen:
Oben steht unser Gewinn, unten steht die Wahrscheinlichkeit dafür. Berechnen wir nun den Erwartungswert:
E(X) = -1,50 * 0,83456 - 0,50 * 0,16544 + (1.000.000-1,50) * 0.00000019 = -2,06€
Pro Tipp macht man also 2,06€ Verlust.
a) -2,06€ * 2 = -4,12€
b) -2,06€ * 4 = -8,24€
Nun zu Aufgabe c. Ein Spiel ist fair wenn der Erwartungswert = 0 ist. Wir sollen den Gewinn für 2 Richtige anpassen. Dieser ist ja zunächst unbekannt, also machen wir daraus ein x und erstellen eine Gleichung die wir = 0 setzen.
E(X) = -1,50 * 0,83456 + x * 0,16544 + (1.000.000-1,50) * 0.00000019 = 0€
- 1.25184 + 0.16544x + 0.189999715 = 0
0.16544x - 1.061840285 = 0
0.16544x = 1.061840285
x ≈ 6,42€
Man beachte, dass man hier noch den Einsatz von 1,50€ addieren muss:
6.42 + 1.50 = 7.92
Eine Kontrolle ergibt, dass hier ein Ergebnis von 0.0003 rauskommt. Die minimal Abweichung von 0 liegt daran, dass wir mit minimal gerundeten Werten gerechnet haben.
A: Man muss also bei 2 Richtigen 7,92€ ausgezahlt bekommen, damit aus dem Fake-Lotto ein faires Spiel wird.
