Zeigen Sie, dass auch cos t eine Lösung ist.

Question

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3. Aufgabe : Eine autonome Differentialgleichung
Sei \( F\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(n)}\right)=0 \) eine autonome Differentialgleichung mit der Lösung \( y(t)= \) \( \sin t \). Zeigen Sie, dass auch \( \cos t \) eine Lösung ist.

Wie zeige ich das jetzt? Könnte mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Hallo,

wenn \(y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) eine Lösung einer autonomen Differentialgleichung ist, also

$$\forall t \in \mathbb{R}: \quad F(y(t),y'(t),y''(t), \cdots)=0$$

dann ist auch jede Verschiebung von y eine Lösung. Sei also \(z(t):=y(t+c)\) mit einer konstanten c, dann gilt

$$\forall t \in \mathbb{R}: \quad F(z(t),z'(t),z''(t), \cdots)=F(y(t+c),y'(t+c),y''(t+c), \cdots)=0$$

Und der cos ist ja auch nur ein verschobener sin.

Gruß Mathhilf