Wie lange muss der Gast auf das Essen warten?

Question

Aufgabe:

Auf einer Hochzeitsfeier an einem Abend nimmt der Vertreter des Gastgebers zum Anlass, ein klassisches analytisches Problem zu üben und zu erläutern. Konkret besteht er darauf, dass er mit dem Servieren des Essens erst beginnen würde, wenn an dem ersten Tisch, der für 12 Gäste gedeckt ist, 12 Gäste sitzen, die alle in unterschiedlichen Monaten des Jahres geboren sind. Es ist davon auszugehen, dass jeder gegebene Gast mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem der zwölf Monate des Jahres geboren wurde, und dass alle zwei Minuten ein neuer Gast eintrifft. Wie hoch ist die erwartete Wartezeit des ersten Gastes, bevor das Essen schließlich serviert wird?

Problem/Ansatz:

Ich habe zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass bei 12 Leuten, jeder in einem anderen Monat geboren ist. Wolfram Alpha liefert: "product from x=1 to 11 of (12-x)/(12)" = 0.00005.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 50 Gästen jeder Monat einmal vorkam?
Bei wie vielen Gästen beträgt die Wahrscheinlichkeit 50%, dass das gewünschte Ereignis eintritt?
Wie kann man den Erwartungswert bei dieser Aufgabe berechnen?

Answer 1

Auf einer Hochzeitsfeier an einem Abend nimmt der Vertreter des Gastgebers zum Anlass, ein klassisches analytisches Problem zu üben und zu erläutern. Konkret besteht er darauf, dass er mit dem Servieren des Essens erst beginnen würde, wenn an dem ersten Tisch, der für 12 Gäste gedeckt ist, 12 Gäste sitzen, die alle in unterschiedlichen Monaten des Jahres geboren sind. Es ist davon auszugehen, dass jeder gegebene Gast mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem der zwölf Monate des Jahres geboren wurde, und dass alle zwei Minuten ein neuer Gast eintrifft. Wie hoch ist die erwartete Wartezeit des ersten Gastes, bevor das Essen schließlich serviert wird?

Das ist im Grunde sowas wie die Türchenaufgabe von dir. Und die lässt sich selber auch wieder auf das Sammelbilderproblem zurückführen.

Erwartungswert der Leute, die eintreffen müssen, bis man 12 Personen hat, die in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben.

∑ (k = 1 bis 12) (12·1/k) = 37.23852813

Der erste muss also noch ca. 36.23852813*2 = 72.48 Minuten warten.