Beweisen Sie diesen Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie diesen Grenzwert:

\(\Huge \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}=\alpha \)

Answer 1

Hallo,

bedenke, dass $$(x+1)^{\alpha} = \sum\limits_{k=0}^{\alpha} {\alpha \choose k} x^{\alpha-k} $$wenn Du dies in den Term einsetzt$$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}= \dots$$dann kannst Du \(x\) einmal kürzen und es verbleibt$$\dots = \lim \limits_{x \rightarrow 0 }\left( x^{\alpha -1} + \alpha x^{\alpha -2}+ {\alpha \choose 2}x^{\alpha -3} + \dots + \alpha x^0\right)$$läuft \(x \to 0\) so werden alle Summanden zu \(0\) bis auf den letzten.

Gruß Werner