Beweis mittels vollständiger Indektion

Question

Aufgabe:

Beweis mittels vollständiger Induktion, für alle n aus natürlichen Zahlen

\(\displaystyle \sum \limits_{k=1}^{2 n}(-1)^{k+1} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)

Problem/Ansatz:

Ich kann solche Aufgaben gut löschen aber weiß leider nicht wie man vorgeht wenn auf beiden Seiten eine Summe steht

Answer 1

Wie immer: Induktionsanfang mit n=1.

Annahme, dass die Formel mit n funktioniert.

Daraus ableiten, wie sich die Erhöhung von n auf n+1 auswirkt.

(Links kommen konkret zwei neue Summanden dazu, rechts kommt einer dazu und der ursprünglich erste Bruch der Summe ist nicht mehr da, weil es erst mit einem um 1 vergrößerten Nenner losgeht).

Wenn du letzteres nicht so richtig verstehst, dann mache mal nicht nur den Induktionsanfang mit n=1, sondern schreibe die Summen auch mal für n=2, n=3 und n=4 konkret aus.