Beweisen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen

Question

Gegeben sei eine Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right) \). Beweisen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:

(1) Die Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right) \) ist eine Nullfolge.

(2) Die beiden Zahlenfolgen \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left((-1)^{n} a_{n}\right) \) sind konvergent.

Answer 1

(1) ==> (2) dürfte ja leicht fallen.

(2) ==> (1): Seien \(  \lim\limits_{n \to \infty} a_n = a \text{   und  }   \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^n \cdot a_n = b  \)

Jede Teilfolge von an konvergiert auch gegen a und jede Teilfolge von (-1)ⁿ * a_n

konvergiert gegen b.

Die Teilfolgen mit geradem n stimmen bei beiden Folgen überein, also

ist a=b .

Die Teilfolge von (-1)ⁿ * a_n  mit ungeradem Index haben Folgenglieder, die

sich nur um das Vorzeichen unterscheiden, also tun die Grenzwerte das auch,

somit a=-b und zusammen mit a=b gibt das b=-b ==>  b=0 und mit a=b auch a=0.

Also ist a_n eine Nullfolge.