Bruch vereinfachen mit x,y und viele Klammern und Potenzen

Question

Aufgabe:

vereinfache

\(\displaystyle \frac{2 x y^{2}(x-y)^{2}+(2-y) x^{3} y-(2 x+1) y^{4}+x y^{2}(6 y-6 x+4 x y)-x^{3} y^{2}-y^{4}}{x\left(x\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)-y^{3}-x y(x-2 y)\right)} \).

Problem/Ansatz:

da muss es doch irgendein Trick geben...

was mir mal so in den Sinn kam, ist binomischer Lehrsatz. bin ich auf der richtigen Spur?

Comments

Man kann es als 2y/x schreiben.

---

kann man das sofort sehen oder muss man alles ausklammern?

---

Die Beresina-Methode bringt Erfolg.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du den Zähler ausrechnest, heben sich viele Terme gegenseitig zu Null weg:$$\phantom=\frac{2xy^2(x-y)^2+(2-y)x^3y-(2 x+1)y^4+xy^2(6y-6x+4xy)-x^3y^2-y^4}{x\left(x\left(x^2-2xy+y^2\right)-y^3-xy(x-2y)\right)}$$$$=\frac{2xy^2(x^2-2xy+y^2)+(2-y)x^3y-(2 x+1)y^4+xy^2(6y-6x+4xy)-x^3y^2-y^4}{x^2\left(x^2-2xy+y^2\right)-xy^3-x^2y(x-2y)}$$$$=\frac{(\pink{2x^3y^2}\blue{-4x^2y^3}+\green{2xy^4})+(2x^3y\pink{-x^3y^2})-(\green{2xy^4}+y^4)+(6xy^3-6x^2y^2\blue{+4x^2y^3})\pink{-x^3y^2}-y^4}{\left(x^4-2x^3y+x^2y^2\right)-xy^3-(x^3y-2x^2y^2)}$$$$=\frac{2x^3y-y^4+6xy^3-6x^2y^2-y^4}{\left(x^4-2x^3y+x^2y^2\right)-xy^3-(x^3y-2x^2y^2)}=\frac{2x^3y+6xy^3-6x^2y^2-2y^4}{x^4-3x^3y+3x^2y^2-xy^3}$$$$=\frac{2y\pink{(x^3+3xy^2-3x^2y-y^3)}}{x\pink{(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)}}=\frac{2y}{x}$$

Answer 2

\(\displaystyle \frac{2 x y^{2}(x-y)^{2}+(2-y) x^{3} y-(2 x+1) y^{4}+x y^{2}(6 y-6 x+4 x y)-x^{3} y^{2}-y^{4}}{x\left(x\left(x^{2}-2 x y+y^{2}\right)-y^{3}-x y(x-2 y)\right)} \\\\ = \frac{ 2 x^{3} y-6 x^{2} y^{2}+6 x y^{3}-2 y^{4} }{ x^{4}-3 x^{3} y+3 x^{2} y^{2}-x y^{3}} \\\\= \frac{2y\left(x^{3} -3 x^{2} y+3 x y^{2}- y^{3}\right) }{x\left( x^{3}-3 x^{2} y+3 xy^{2}- y^{3}\right)}\\\\=\frac{2y}{x} \)