Kann man schließen, dass die Variablen rational sind?

Question

Aufgabe:

Es seien \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \).

a) Es gelte \( a+b, b+c, c+a \in \mathbb{Q} \). Kann man schliefen, dass \( a, b \) und \( c \) rational sind?
b) Es gelte \( a+b, b+c, c+d, d+a \in \mathbb{Q} \). Kann man schließen, dass \( a, b, c \) und \( d \) rational sind?

Problem/Ansatz:

Comments

b) Es gelte a+b, b+c, c+d, d+a ∈ Q. Kann man schließen, dass a, b, c und d rational sind?

Gegenbeispiel:
a = c = √2
b = d = - √2

a, b, c und d können auch irrational sein.

a) Es gelte a+b, b+c, c+a ∈ Q. Kann man schließen, dass a, b und c rational sind?

Ich vermute, dass man das schließen kann. Mir fällt aber auf die schnelle kein geschickter Beweis ein.

---

Mir fällt aber auf die schnelle kein geschickter Beweis ein.

Den brauchst du auch einer Fragestellerin nicht hinterherzuwerfen, die zu einem anderen Thema Hilfestellung erhalten hat, aber statt darauf zu reagieren die nächste Frage einwirft.

Falls die Aufgabe DICH interessiert:

Man könnte mal (a+b)-(b+c) betrachten und mit c+a in Beziehung bringen.

Damit ist der Status von a und c geklärt.

PS:

Ach, ich sehe gerade: Mathhilf war lösungsinkontinent.

Answer 1

Es gilt

$$a=\frac{1}{2}((a+b)-(b+c)+(c+a))$$

Wenn also die drei Summen rational sind, dann auch a.