Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu a) Hier hilft die dritte binomische Formel:$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n-1}}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{\pink{\sqrt n-\sqrt{n-1}}}{(\sqrt n+\sqrt{n-1})\pink{(\sqrt n-\sqrt{n-1})}}\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{\sqrt n-\sqrt{n-1}}{n-(n-1)}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\left(\sqrt n-\sqrt{n-1}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\sqrt n-\sum\limits_{n=1}^N\sqrt{n-1}$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=1}^N\sqrt n-\sum\limits_{n=0}^{N-1}\sqrt{n}=\sqrt N\to\infty$$Die Reihe konvergiert offensichtlich nicht.
zu b) Hier hilft uns die Summenformel für die geometrische Reihe weiter:$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{k=0}^n2^{-k}=\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac12\right)^k=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\left(\frac12\right)}=\sum\limits_{n=1}^N\left(2-\frac{1}{2^{n}}\right)\to\infty$$Da die Summanden keine Nullfolge bilden (gehen gegen \(2\)), divergiert die Summe.
zu c) Und nochmal die geometrische Reihe, diesmal doppelt:$$S_\infty=\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty2^{-(n+k)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{n+k}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{k}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}\frac{1}{1-\left(\frac12\right)}$$$$\phantom{S_\infty}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{n-1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{1-\left(\frac12\right)}=2$$
