Für welche z ∈ ℂ liegen die Punkte z, 1 − z und 1/z in der komplexen Ebene auf einer Kreislinie zentriert im Punkt 0?

Question

Aufgabe:

Für welche z ∈ ℂ liegen die Punkte z, 1 − z und 1/z in der komplexen Ebene auf einer Kreislinie zentriert im
Punkt 0?

Problem/Ansatz:

Habe ich richtig verstanden, dass man eine komplexe Zahl z ∈ ℂ finden soll, sodass der Radius (Abstand vom Punkt 0) der komplexen Zahl in allen Fällen (z, 1 − z und 1/z) gleich ist? Und wenn ja, wie stelle ich dies an? Stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch...

Answer 1

|z|  =  |1 − z|   =   1/|z|             | *|z|

==>   |z|^2  =    |1 − z| *|z|   =  1

Für z = a+bi

==>  a^2 + b^2 = 1     und |z| =  |1 − z|

==>  a^2 + b^2 = 1    und   a^2 + b^2 =   1-2a+a^2 + b^2 

==>  a^2 + b^2 = 1    und    0=  1-2a

==>   b = ±0,5√3    und a =0,5  (siehe Kommentar ! ).

Also gibt es 2 solche Zahlen.

Comments

Also gibt es 4 solche Zahlen.

ich sehe nur zwei! Aus \(0=1-2a\) folgt eindeutig \(a=1/2\)

Verschiebe den roten Punkt \(z\) derart, dass sich \(1-z\) und \(1/z\) ebenfalls auf dem blauen Kreis befinden:

https://www.desmos.com/calculator/6vlhmopevw

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Vielen Dank für die Hilfe!!

Allerdings eine Frage: Wieso sind in der ersten Zeile alle Zahlen z ∈ ℂ in Betragsstrichen?

|z| =  |1 − z| =  1/|z|          

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Betrag der Zahl gibt ja den Abstand zum Nullpunkt an.

Wenn die alle auf einem Kreis um (0;0) liegen sollen,

müssen die Abstände zum Nullpunkt alle gleich sein.

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Vielen vielen Dank!