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Aufgabe:

Wie kann ich bei folgenden Funktionen zeigen, dass sie differenzierbar sind?


\( f(x, y)=\arctan \frac{y}{x} \)

für \( a \in \mathbb{R}: \quad g(x)=\|x\|^{a} \)

\( f(r, \varphi):=\left(\begin{array}{l}r \cos \varphi \\ r \sin \varphi\end{array}\right) \)


Problem/Ansatz:

Folgendes habe ich versucht: in diese Formel einzusetzen.

Definition 8.1. Suppose that \( f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} \) and \( a<c<b \). Then \( f \) is differentiable at \( c \) with derivative \( f^{\prime}(c) \) if
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\right]=f^{\prime}(c) . \)

Allerdings kürzt sich bei mir nichts weg.. Bzw. wie zeigt man, dass die Funktionen partiell differentierbar sind? Danke für Tipps!

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Folgendes habe ich versucht: in diese Formel einzusetzen.

Hast du nicht gelernt, Funktionen mit Hilfe einschlägiger Regeln zu differenzieren - Produktregel, Kettenregel etc?

Doch, habe ich. Zur Überprüfung der Differentierbarkeit reicht es, einfach abzuleiten? Bis jetzt bin ich oft daran gestossen, dass man auf die oben angegebene Formel anwenden musste.

Wenn man regelrecht nach mathematischen Sätzen ableiten kann, ist die Existenzaussage für die Ableitung automatisch mitgeliefert.

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