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Injektiv: "Jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal getroffen."
Surjektiv: "Jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal getroffen."
Bei der Surjektivität musst du dir immer die ganze Zielmenge ansehen. Es reicht ein Element, das nicht getroffen wird, und schon ist die Abbildng nicht surjektiv.
Fall 1: \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\,,\,\binom{x}{y}\to\binom{y}{x}\)
Surjektivität: Wir müssen für jedes Element \(\binom{x_0}{y_0}\) aus der Zielmenge \(\mathbb R^2\) ein Argument aus der Definitionsmenge finden, von dem es getroffen wird. Dazu brauchen wir die Komponenten nur zu vertauschen und haben ein solches Argument \(\binom{y_0}{x_0}\) gefunden.
Die Funktion ist surjektiv.
Injektivität: Wir nehmen an, es gibt zwei Argumente \(\binom{x_1}{y_1}\) und \(\binom{x_2}{y_2}\) mit demselben Ziel:$$f(x_1;y_1)=f(x_2;y_2)\implies\binom{x_1}{y_1}=\binom{x_2}{y_2}\implies x_1=x_2\;\land\;y_1=y_2$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Ziel.
Die Funkton ist injektiv.
Fall 2: \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\,,\,\binom{x}{y}\to x+2y\)
Surjektivität: Die Zielmenge ist ganz \(\mathbb R\). Wir wählen daraus ein \(x_0\) beliebig aus. Das Argument \(\binom{x_0}{0}\) aus der Definitionsmenge trifft das gewählte \(x_0\).
Daher ist die Funktion surjektiv.
Injektivität: Es ist \(\binom{2}{0}\to2\) und \(\binom{0}{1}\to2\). Das Element \(2\) aus der Zielmenge wird also von zwei verschiedenen Elementen getroffen.
Die Funktion ist nicht injektiv.
Fall 3: \(f\colon\mathbb N^2\to\mathbb N\,,\,\binom{x}{y}\to x\cdot y\)
Surjektivität: Wir wählen ein \(n\in\mathbb N\) aus der Zielmenge beliebig. Das Argument \(\binom{1}{n}\) trifft dieses \(n\).
Daher ist die Funktion surjektiv.
Injektivität: Es ist \(\binom{1}{2}\to2\) und \(\binom{2}{1}\to2\). Das Element \(2\) aus der Zielmenge wird also von zwei verschiedenen Argumenten getroffen.
Die Funktion ist nicht injektiv.
Fall 4: \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\to ax+b\;\text{ mit }\;a,b\in\mathbb R\;;\;a\ne0\)
Surjektivität: Wir wählen ein Element \(y\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\) beliebig aus und suchen ein \(x\) aus der Definitonsmenge, das dieses \(y\) trifft:$$ax+b\stackrel!=y\implies ax=y-b\implies x=\frac{y-b}{a}\quad\checkmark$$Da nach Voraussetzung \(a\ne0\) ist, funktioniert die Division und wir haben ein \(x\) gefunden, das unser gewähltes \(y\) trifft.
Die Funktion ist daher surjektiv.
Injektivität: Wir nehmen an, es gibt zwei Argumente \(x_1,x_2\in\mathbb R\) aus der Definitionsmenge mit demselben Ziel:$$f(x_1)=f(x_2)\implies a\cdot x_1+b=a\cdot x_2+b\stackrel{(-b)}{\implies}a\cdot x_1=a\cdot x_2\stackrel{\div a}{\implies}x_1=x_2$$Auch hier war wieder die Einschränkung \((a\ne0)\) wichtig. Es gibt keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Ziel.
Die Funktion ist injektiv.
