Zeige Wohldefiniertheit und untersuche auf Injektivität, Surjektivität.

Question

Aufgabe:

x ∈ ℝ | x ≥ 0 ↦ ℝ \ {1},   f(x) = x²+1 / x²+2

Problem:

Wie zeige ich dass f wohldefiniert ist und und wie untersuche ich

f auf Injektivität und Surjektivität.

Answer 1

Wohl so:  f(x) = (x²+1 )  /  ( x²+2 )     

wohldefiniert, weil für jedes x ≥ 0 genau ein Wert entsteht.

Einziges Problem hätte

Nenner = 0

sein können. Das tritt aber nicht auf.

Injektiv:   (a²+1 )  /  ( a²+2 )    =   (b²+1 )  /  ( b²+2 )

==>    (a²+1 )  *  ( b²+2 )    =  (b²+1 )  ( a²+2 )

==>    a²b²+2a²+ b² +2   =   a²b²+a²+ 2b² +2

==>              a²= b² 

Wegen a und b nicht negativ, also  a=b .

==>  f injektiv.

surjektiv: Sei y ℝ \ {1} . Gibt es x≥0

mit     f(x)=y   ? z.B. y=2 gibt Probleme

         (x²+1 )  /  ( x²+2 )    = 2

            x²+1   = 2x²+4

             -3  = x²

klappt also nicht. ==>  f nicht surjektiv.