Verteilung der Realteile der Kreisteilungsgleichung für ungerade Teilungen

Question

Gegeben sei die Grundgesamtheit der Lösungs-Realteile der Kreisteilungsgleichung

x^{2k +1} -1 = 0 für k = 2

Wie lauten die Lösungen der Gleichung ? Wie die Realteile der Lösungen ?

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Lösungs-Realteile ?

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Kehrwerte der Lösungs-Realteile ?

Wie lauten Mittelwert und Varianz für ausgesuchte k aus der Menge der natuerlichen Zahlen für die beiden Grundgesamtheiten ?

Answer 1

Gegeben sei die Grundgesamtheit der Lösungs-Realteile der Kreisteilungsgleichung

x^{2k +1} -1 = 0   für k = 2

oder x^5 = 1

Wie lauten die Lösungen der Gleichung ? Wie die Realteile der Lösungen ?

x = - √5/4 - 1/4 - i·√(10 - 2·√5)/4 
x = - √5/4 - 1/4 + i·√(10 - 2·√5)/4 
x = √5/4 - 1/4 - i·√(2·√5 + 10)/4 
x = √5/4 - 1/4 + i·√(2·√5 + 10)/4 
x = 1

Die Realteile lauten: - √5/4 - 1/4; √5/4 - 1/4; 1

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Lösungs-Realteile ?

Mittelwert: (2 * (- √5/4 - 1/4) + 2 * (√5/4 - 1/4) + 1) / 5 = 0

Varianz: 1/5·(2·(- √5/4 - 1/4)^2 + 2·(√5/4 - 1/4)^2 + 1^2) = 1/2

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Kehrwerte der Lösungs-Realteile ?

Mittelwert: (2 / (- √5/4 - 1/4) + 2 / (√5/4 - 1/4) + 1) / 5 = 1

Varianz: 1/5·(2·(- √5/4 - 1/4 - 1)^2 + 2·(√5/4 - 1/4 - 1)^2 + (1 - 1)^2) = 3/2

Wie lauten Mittelwert und Varianz für ausgesuchte k aus der Menge der natürlichen Zahlen für die beiden Grundgesamtheiten ?

Also hier muss ich noch mal drüber nachdenken wie es gemeint ist. Was sollen hier die Grundgesamtheiten sein?

Comments

Hier mal eine Untersuchung für beliebige n.Wurzeln.

Der Realteil der n. Wurzel berechnet sich doch aus 

r = cos(2·pi·i/n) für i = 0 bis n-1

Erwartungswert:

∑ i=0 bis n-1 über cos(2·pi·i/n) = 0

Varianz:

1/n * ∑ i = 0 bis n-1 cos(2·pi·i/n)^2 = 1/n * n/2 = 1/2

 

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Exzellent !

Bei der Varianz für die Kehrwerte der Lösungs-Realteile hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen: Es muss eben der Kehrwert als Argument genommen werden, also

Varianz: 1/5·(2·( 1/(- √5/4 - 1/4) - 1)^2 + 2·(1/(√5/4 - 1/4) - 1)^2 + (1/1 - 1)^2) = 4

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Danke für die Korrektur. Du hast natürlich recht.

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Bei den Kehrwerten der Lösungs-Realteile hilft eine Betrachtung folgender Zusammenhaenge:

1) Die Realteile der Lösungen von x^{2k +1} -1 = 0 sind cos (360°/(2k +1)*m) für m = 0 bis 2k

(oder auch für m von 1 bis 2k +1).

2) Die Realteile sind also auch die (2k +1) Lösungen cos phi der Gleichung cos (2k +1)*phi -1 = 0

  für k = 2 also  cos (5*phi) = 1

3) cos (2k +1)*phi = ∑ i = k bis 0   (2k +1 über 2k -2i) (cos phi)^{2i +1} * (sin phi)^{2k -2i}

 = (2k+1 über 0)*(cos phi)^{2k +1}*(sin phi)^{0}

+(2k+1 über 2)*(cos phi)^{2k -1}*(sin phi)^{2} ++...+(2k+1 ueber 2k)*(cos phi)^{1}*(sin phi)^{2k}.

= (2k +1) (cos phi)*(sin phi)^{2k} +(2k+1!)/(2k -2) ! / 3 ! *(cos phi)^3*(sin phi)^{2k -2} +++....

= 5 (cos phi)*(sin phi)^4 +(120)/2/6 *(cos phi)^3*(sin phi)^2 +(120)/1/120 *(cos phi)^5*(sin phi)^0

= 5 cos phi*(sin phi)^4 +10*(cos phi)^3*(sin phi)^2 +(cos phi)^5

= 16 (cos phi)^5 -20 (cos phi)^3 +5 (cos phi)

4) sin phi kommt also nur in gerader Potenz vor und das lineare Glied in cos phi hat den Koeffizienten (2k +1), wenn die Gleichung ∑ i = 1 bis 2k +1        ai * (cos phi)^i = 1 betrachtet wird

also a1 = 2k +1

Da nach dem Wurzelsatz von Vieta die (2k.) elementarsymmetrische Funktion e2k(x1..x2k+1) den absoluten Betrag des linearen Gliedes ausdrückt, gilt

∑ i = 1 bis 2k +1 (∏ (j = 1 bis 2k +1) xi) / xi = (-1)^{2k} *a1 = +(2k +1)

ausserdem gilt, dass die (2k +1.) elementarsymmetrische Funktion e2k+1(x1..x2k+1) den absoluten

Betrag des absoluten Gliedes ausdrückt, also ∏ i = 0 bis 2k +1     xi = (-1)^{2k +1}*a0 = -a0 = -(-1) = +1

also gilt

∑ i = 1 bis 2k +1 (∏ (j = 0 bis 2k +1) xi) / xi = (-1)^{2k} *a1 = +(2k +1)

= ∑ i = 1 bis 2k +1 *(-a0) / xi = +(2k +1)

=> ∑ i = 1 bis 2k +1    1 / xi = +(2k +1)/(-a0) = +(2k +1)/(+1) = +(2k +1)

=> 1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4 +1/x5 = 2k +1 = 5

5) Der Erwartungswert der Realteil-Kehrwerte ist also my = (2k +1)/(2k +1) = 1

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6) Die Varianz der Realteil-Kehrwerte ergibt sich aus der Rechenvereinfachung

sigma^2 = 1/n ∑ (xi -my)^2 = 1/n  ∑(xi^2 -2my*xi +my^2) = 1/n (∑ xi^2) -1/n*2my*(∑xi) +1/n*my^2 *∑ 1

1/n ∑ xi^2 - 2my*(1/n ∑xi) +1/n *n my^2  =  (1/n (∑ xi^2))   -2my^2  +my^2

= (1/n (∑ xi^2))   -my^2

7)  Beispiele für die Summe der Realteil-Kehrwert-Quadrate

k = 1 => n = 3 => ∑ 1/xi^2 = 1/(cos 0°)^2 +1/(cos 120°)^2 +1/(cos 240°)^2 = 9

k = 2 => n = 5 => ∑ 1/xi^2 = 1/(cos 0°)^2 +1/(cos 72°)^2 +1/(cos 144°)^2 +1/(cos 216°)^2

           +1/(cos 288°)^2 = 25

k = 3 => n = 7 => ∑ 1/xi^2 = 1/(cos 0°)^2 +1/(cos 360/7°)^2 +1/(cos 720/7°)^2 +1/(cos 1080/7°)^2

        +1/(cos 1440/7°)^2 +1/(cos 1800/7°)^2 +1/(cos 2160/7°)^2 = 49

die Summe der Kehrwert-Quadrate ist in der Tat (2k +1)^2, das heißt 1/n ∑ 1 / xi^2 = (2k +1)^2/(2k +1)

= 2k +1

8) die Varianz lautet sigma^2 = (1/n (∑ xi^2))   -my^2 = (2k +1) -1^2 = 2k

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