Aufgabe:
Betrachten Sie die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{cl} \left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) . \end{array}\right. \)
i) Zeigen Sie, dass \( f \) partiell differenzierbar auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist, und berechnen Sie den Gradienten von \( f \).
ii) Führen Sie einen detaillierten Beweis, dass \( f \) stetig differenzierbar auf \( \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \), aber nicht auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
iii) Zeigen Sie, dass \( f \) total differenzierbar auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist.
Problem/Ansatz:
