Bestimmen Sie die Abbildungen f◦g und g◦f

Question

Aufgabe:

Sei M := {z² + 1 | z ∈ ℕ} die Menge der Quadratzahlen. Es seien die folgenden Abbildungen gegeben:

f : N → M, n → n² + 1,

g : M → N, x → √(x − 1)
Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen f◦g und g◦f und entscheiden Sie, ob die Abbildungen
f ◦ g und g ◦ f gleich sind.

Problem:

Ich würde gerne wissen, wie man solch eine Aufgabe löst

Answer 1

Aloha :)

$$\red{f\colon N\to M\,,\,n\mapsto n^2+1}\quad;\quad\green{g\colon M\to N\,,\,x\mapsto\sqrt{x-1}}$$

$$(\red f\circ \green g)\colon M\to M\,\text{wobei}$$$$(\red f\circ\green g)(x)=\red f(\green g(x))=\red f(\green{\sqrt{x-1}})=(\green{\sqrt{x-1}})^{\red2}\red{+1}=x$$

$$(\green g\circ \red f)\colon N\to N\,\text{wobei}$$$$(\green g\circ\red f)(n)=\green g(\red f(n))=\green g(\red{n^2+1})=\green{\sqrt{\red{n^2+1}-1}}=\sqrt{n^2}=n$$

Beide Verknüpfungen ergeben die identische Abbildung \((\mathbf {id}(x)=x)\). Jedoch bildet \((\red f\circ\green g)\) die Elemente der Menge \(M\) auf die Menge \(M\) ab und \((\green g\circ\red f)\) die Elemente der Menge \(N\) auf die Menge \(N\). Die Abbildungen wären streng genommen daher nur gleich, wenn auch \(M=N\) wäre.