Wegen der Unstetigkeit der Integrandenfunktion sollte man für a>0, b>0 den Grenzwert \( \lim\limits_{ (a,b) \to (0,0)} \) \( \int\limits_{b}^{1}\int\limits_{a}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^3}dx dy \) berechnen.
Dabei komme ich auf
\( \int\limits_{b}^{1}\int\limits_{a}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^3}dx dy \) = \( \int\limits_{b}^{1}\left[ \frac{-x}{(x+y)^2}\right]_a^1 dy \) = \( \int\limits_{b}^{1} \frac{-1}{(1+y)^2}+ \frac{a}{(a+y)^2} dy \)
= \( \left[ \frac{1}{(1+y)}- \frac{a}{(a+y)} \right]_b^1 \) = \( \frac{1}{2}-\frac{a}{a+1}-\frac{1}{1+b}+\frac{a}{a+b} \)
Und hier existiert der Grenzwert des letzten Summanden für (a,b) -> (0,0) nicht.