Wie zeige ich die Ungleichheit der folgenden Integrale?

Question

Seien $f:(0,1]^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\frac{x-y}{(x+y)^{3}}$

Wie zeige ich, dass
$\int \limits_{(0,1]} \int \limits_{(0,1]} f(x, y) \mathrm{d} \lambda(x) \mathrm{d} \lambda(y) \neq \int \limits_{(0,1]} \int \limits_{(0,1]} f(x, y) \mathrm{d} \lambda(y) \mathrm{d} \lambda(x) .$ ?

Comments

Indem Du beide berechnest

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Verstehe nicht, wie man die ausrechnet

Answer 1

Zu berechnen ist für die linke Seite

$$\int_0^1 \left(\int_0^1 \frac{x-y}{(x+y)^3} \;dx\right) dy$$

Berechne das innere Integral:

$$\frac{x-y}{(x+y)^3}=\frac{x+y-2y}{(x+y)^3} =(x+y)^{-2}-2y(x+y)^{-3}$$

Stammfunktion dazu (bezüglich x)

$$-(x+y)^{-1}+y(x+y)^{-2}=-x(x+y)^{-2}$$

Damit

$$\int_0^1 \left(\int_0^1 \frac{x-y}{(x+y)^3} \;dx\right) dy=\int_0^1 \left(-(1+y)^{-2}\right) dy=\left[(1+y)^{-1}\right]_0^1=-0.5$$

Gruß Mathhilf

Comments

Die Integrandenfunktion ist bei (x,y)=(0,0) nicht definiert und sie ist dort auch nicht stetig ergänzbar.

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Kann man dort dann einfach den Grenzwert gegen 0 berechnen?

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Das muss man sogar.

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Die Problematik sollte nicht in Vergessenheit geraten, deshalb hier noch ein Nachtrag :

Der angesprochene Grenzwert existiert überhaupt nicht, die Fragestellung ist also sinnlos.
Oder irre ich mich ?

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Welcher Grenzwert existiert / nicht?

Ich habe die Frage von a so verstanden, dass sie/er die Integrale nicht berechnen kann und habe dann beim Aufschrieb die Grenzen einfach an das Integral geschrieben. Tatsächlich setzt ja die Aufgabenstellung das Intervall (0,1]

Es geht bei der Aufgabe um iterierte Integrale. Für y>0 ist der Integrand bezüglich x stetig, also integrierbar. Das Ergebnis ist -(1+y)^(-2), was ebenfalls integrierbar ist.

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Wegen der Unstetigkeit der Integrandenfunktion sollte man für a>0, b>0 den Grenzwert $\lim\limits_{ (a,b) \to (0,0)}$ $\int\limits_{b}^{1}\int\limits_{a}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^3}dx dy$   berechnen.

Dabei komme ich auf
$\int\limits_{b}^{1}\int\limits_{a}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^3}dx dy$ = $\int\limits_{b}^{1}\left[ \frac{-x}{(x+y)^2}\right]_a^1 dy$ = $\int\limits_{b}^{1} \frac{-1}{(1+y)^2}+ \frac{a}{(a+y)^2} dy$

= $\left[ \frac{1}{(1+y)}- \frac{a}{(a+y)} \right]_b^1$ = $\frac{1}{2}-\frac{a}{a+1}-\frac{1}{1+b}+\frac{a}{a+b}$

Und hier existiert der Grenzwert des letzten Summanden für (a,b) -> (0,0) nicht.

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Danke, habe deinen Kommentar nochmal gelesen und weiß jetzt, dass es nicht um
$\int\limits_{(0,1]^2} f(x,y) \;d(xy)$ = $\lim\limits_{ (a,b) \to (0,0)}$ $\int\limits_{b}^{1}\int\limits_{a}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^3}dx dy$  geht, was nicht existiert, sondern wie in der Frage um  $\lim\limits_{ b \to 0}$ $\int\limits_{b}^{1} ( \lim\limits_{ a \to 0} \int\limits_{a}^{1} f(x,y)\;dx )dy$ = -1/2