Wie kommt man auf die Lösung 1/cos^2(x)?

Question

Aufgabe:

Ableitung vom tan(x):

d/dx(tanx) = d(sinx/cos(x))/dx = [cos(x)*cos(x) -sinx *(-sin(x))]/cos^2(x)

Wie kommt man auf die Lösung 1/cos^2(x)???

Comments

Was in [eckigen Klammern] steht, ist bekanntlich gleich 1.

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ach stimmt, danke dir!

Answer 1

cos(x)*cos(x) + sin(x) *sin(x) = 1

sog. trigonometrischer Pythagoras.

Answer 2

Beachte das es zwei gängige Ableitungen von tan(x) gibt

f(x) = tan(x)
f(x) = sin(x) / cos(x)

f'(x) = (cos(x) * cos(x) + sin(x) * sin(x)) / cos²(x)
f'(x) = (cos²(x) + sin²(x)) / cos²(x)

1. Möglichkeit

wegen sin²(x) + cos²(x) = 1

f'(x) = 1 / cos²(x)

2. Möglichkeit

f'(x) = cos²(x) / cos²(x) + sin²(x) / cos²(x)
f'(x) = 1 + tan²(x)

Die letzte Variante kann man auch geschickt für die Ableitung von arctan(x) verwenden.

Answer 3

f(x) = tanx = sinx/cosx

Quotientenregel:

(cosx*cosx- sinx*(-sinx))/ (cos x)^2 = (cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x = 1/cos^2 x

da gilt: sin^2 x+cos^2 x = 1