Question

Ein idealer Würfel wird 100 mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Zahl 6

a)genau 15 mal
b)mehr als 25 mal
c)mindestens 15 mal und höchstens 25 mal?

Bei a) habe ich n= 100 p= 1/6 und k=15 und habe cA 10% raus, stimmt das?
Nun komme ich bei c und d nicht weiter, könnte mir das jemand erklären?

Comments

Also ich verstehe allgemein nicht, was ich bei den jeweiligen aufgabenstelungen machen muss also zB bei mehr als, mindestens, höchstens ?? Und welche zeichen ich da machen muss?

Answer 1

 

wir rechnen mit der Binomialverteilung bzw. der summierten Binomialverteilung:

 

a) genau 15mal die 6:

P(X=15) ≈ 10,02%

 

b) mehr als 25mal die 6:

P(X>25) = 1 - P(X≤25) ≈ 1 - 1,9881 = 1,19%

 

c) mindestens 15mal und höchstens 25mal die 6:

P(15≤X≤25) = P(X≤25) - P(X≤14), weil die 15 ja noch dazu gehört.

P(X≤25) steht in Aufgabenteil a) und

P(X≤14) ≈ 0,2874

Also insgesamt ca.

0,9881 - 0,2874 = 0,7007 = 70,07%.

 

Da in solchen Tabellen immer nur Werte für P(X=k) und P(X≤k) aufgelistet sind, ist es hilfreich, sich eine kleine Skizze mit einigen wesentlichen Balken zu machen, um zu schauen, welche "Balken" bzw. Bereiche dazugehören und welche nicht.

 

Besten Gruß

Comments

Mir leuchtet noch nicht ganz ein, wieso man
bei b)mit der gegenwahrscheinlichkeit rechnet? Und bei c ) minus?

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Das macht man weil in der Tabelle die Summenwahrscheinlichkeiten von 0 bis k aufgelistet sind.

Wenn du es rechnest ist es Prinzipiell egal. Nur es ist einfacher die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 25  aufzuaddieren als die Wahrscheinlichkeiten für 26 bis 100 :)

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In Tabellen oder in diesem Internetprogramm

http://www.alewand.de/stattab/tabdiske.htm#binom

sind nur die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) aufgelistet (Binomialverteilung) und

die Wahrscheinlichkeiten P(X≤k) (summierte Binomialverteilung)

 

In b) ist aber gefragt, wie groß die W. ist, mehr als 25mal die 6 zu würfeln. Diese Angabe liegt uns aber nicht vor - oder wir müssten P(X=26) + P(X=27) + ... + P(X=100) einzeln ausrechnen und addieren, eine Irrsinns-Arbeit.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Ergebnisse ist summiert 100% = 1.

Und es gibt eben hier nur die beiden Möglichkeiten P(X>25) und P(X≤25), und deren Summe ist 100% = 1.

Also: P(X>25) + P(X≤25) = 1 => P(X>25) = 1 - P(X≤25)

 

c) analog:

Wir sehen uns erst die W. P(X≤25) an. Darin sind aber auch enthalten P(X=0), P(X=1), P(X=2), ... , P(X=14).

Deren W. wollen wir aber nicht berechnen, deshalb müssen wir die Summe dieser W. von P(X≤25) subtrahieren.

 

Klarer?

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Viel klarer
Bloß bei b) bekomme ich 99,84% raus, obwohl sie 1,19% meinten bin etwas verwirrt, denn eigentlich müsste es richtig sein tippe es normal in die Formel ein mit : p=1/6, n=100, k= 25 ?? Und dann eben noch 1-P(X=25)

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Und kann ich für c) einfach die Zahl von b) nehmen? Denn bei b) heisst es ja mehr als 25 und bei c) höchstens 25?

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Prima, dann sind wir schon ganz schön weit gekommen :-)

Der Knackpunkt bei Deiner letzten Frage liegt hier:

 

b) mehr als 25mal die 6:

P(X>25) = 1 - P(X≤25) ≈ 1 - 1,9881 = 1,19%

und nicht

1 - P(X=25)

 

Wir müssen ja, um die W. für mehr als 25mal die 6 auszurechnen, alles subtrahieren, was kleiner oder gleich 25 ist (also 25, 24, 23, ... , 1, 0), und nicht nur die 25 selbst!

Was Du ausgerechnet hast, ist die W., nicht 25mal die 6 zu würfeln.

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Ich habe bei b) und c) den Wert für

P(X≤25) unterschiedlich verwendet:

 

In b) hatte ich

P(X>25) = 1 - P(X≤25) ≈ 1 - 1,9881 = 1,19%

 

in c) hingegen

P(X≤25) - P(X≤14)

mit einem impliziten + vor dem P(X≤25)

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Achso, aber wie tippe ich das in den taschenrechner? İn der klausur bekomme ich ja auch nicht so eine tabelle?

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Ich glaube, Du darfst in der Klausur eine Formelsammlung benutzen, in dem die gängigen Binomialverteilungen aufgelistet sind.

Ansonsten kommt es natürlich auf Deinen Taschenrechner an: Kann er (summierte) Binomialverteilungen berechnen?

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Also wenn du den Casio fx991-de benutzen darfst dann kann der hier die Summenwahrscheinlichkeit über die Summe berechnen.

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Das summenzeichrn habe ich gefunden auf dem Taschenrechner aber wie tippe ich  das k ein?

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Mit dem Casio benutzt du statt dem k ein X und das tippt man [ALPHA] ")".

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wie lautet die formel für groß f

also F(k) = ?

Answer 2

P = COMB(n, k)·p^k·(1 - p)^{n - k}

a) P = COMB(100, 15)·(1/6)^15·(1 - 1/6)^{100 - 15} = 10.02%

b) P = 1 - ∑ (k = 0 bis 25) COMB(100, k)·(1/6)^k·(1 - 1/6)^{100 - k} = 1.19%

b) P = ∑ (k = 15 bis 25) COMB(100, k)·(1/6)^k·(1 - 1/6)^{100 - k} = 70.07%