Hallo,
Ja - Du kannst einen 'beliebigen' Logarithmus zumindest näherungsweise schriftlich berechnen. Allerdings nicht so wie bei einer Division von Zahlen, wo es mit jedem Schritt eine Dezimalstelle genauer wird.
Um \(\log_8(22222)\) zu berechnen gilt es zuächst mal durch fortwährende Division durch \(8\) die Zahl auf einen Bereich von \([1\dots 8)\) zu 'drücken'. Es ist $$22222 \approx 8^4 \cdot 5,425 \\\implies \log_8(22222) \approx \log_8\left(8^4 \cdot 5,425\right) = 4 + \log_8(5,425)$$Alle Zahlen, die jetzt kommen sind gerundet. Wie man die Genauigkeit erhöht, wirst Du gleich sehen. Man stellt sich dazu eine Tabelle auf, indem man eine Zahl wählt, die geringfügig größer ist als \(1\). Ich wähle \(1,1\) und die multipliziert man immer wieder mit \(1,1\) bis man den Wert der Basis (hier 8) erreicht$$\begin{array}{rrr}\text{Exp.}& x& \log_8(x)\\\hline 0& 1& 0\\ 1& 1.1& 0.0458\\ 2& 1.21& 0.0917\\ 3& 1.331& 0.1375\\ 4& 1.464& 0.1834\\ 5& 1.611& 0.2292\\ 6& 1.772& 0.2751\\ 7& 1.949& 0.3209\\ 8& 2.144& 0.3668\\ 9& 2.358& 0.4126\\ 10& 2.594& 0.4585\\ 11& 2.853& 0.5043\\ 12& 3.138& 0.5502\\ 13& 3.452& 0.5960\\ 14& 3.797& 0.6419\\ 15& 4.177& 0.6877\\ 16& 4.595& 0.7336\\ 17& 5.054& 0.7794\\ 18& 5.560& 0.8253\\ 19& 6.116& 0.8711\\ 20& 6.727& 0.9170\\ 21& 7.400& 0.9628\\ 22& 8.140& 1.0087\\ 21.8104& 8& 1\end{array}$$Mit der vorletzten Zeile in der Tabelle wissen wir, dass $$1,1^{22} \approx 8,140 $$Das Ziel ist aber einen Wert \(y\) zu berechnen, für den gilt$$1,1^{y} = 8 \implies \log_8(1,1) = \frac{1}{y}$$Dazu führt man eine (lineare) Interpolation der beiden vorletzten Zeilen zwschen den Exponenten \(21\) und \(22\) durch und kommt zu$$\log_8(1,1) \approx \frac{1}{21,8104} \approx 0,0458496$$das lässt sich alles mit den Grundrechenarten machen. Falls Du Fragen zur Interpolation hast, so melde Dich bitte. Mit diesem Faktor \(1/y\) multipliziert man nun den Exponenten in der ersten Spalte und kommt damit zur dritten Spalte in der Tabelle.
Um den \(\log_8(5,425)\) zu berechnen, sucht man sich nun die beiden Zeilen in der Spalte \(x\) heraus, zwischen denen sich dieser Wert befindet. Das ist hier$$\begin{array}{rrr}\text{Exp.}& x& \log_8(x)\\\hline17& 5.054& 0.7794\\ 18& 5.560& 0.8253\end{array}$$Und dann führt man wieder eine Interpolation durch, um auf den entsprechenden Wert in der rechten Spalte zu kommen:$$\log_8(5,425) \approx 0,7794(1-t) + 0,8253t \approx 0,813 \quad t = \frac{5,425-5,054}{5,560 -5,054 }\\ \implies \log_8(22222) \approx 4,813$$Nun sollte auch klar sein, wie man die Genauigkeit erhöht. Statt \(1,1\) muss man einen Wert wählen, der noch näher an \(1\) liegt. Also z.B. \(1,001\) oder \(1,0001\). Umso näher man an \(1\) kommt, desto kleiner werden die Intervalle in denen interpoliert werden muss und desto genauer wird das Ergebnis. Nur die Größe der Tabelle wächst dadurch auch deutlich an!
siehe auch Logarithmentafel.
Bem.: im Allgemeinen wird man ja keine Tabelle für den Logarithmus für jede beliebige Basis (hier \(8\)) aufstellen, sondern zur Basis \(10\) und dann mit der gängigen Umrechnung den Wert der anderen Basis berechnen:$$\log_8(5,425) = \frac{\log_{10}(5,425)}{\log_{10}(8)}$$Man benötigt also für alle Basen nur eine Tabelle mit der gewünschten Genauigkeit.
Gruß Werner
