Beweise zu Gruppenhomomorphismus

Question

Aufgabe:

Seien (G,∗) und (H,•) Gruppen. Wir nennen eine Abbildung f : G → H einen Homomorphismus oder genauer einen Gruppenhomomorphismus, wenn für alle g1, g2 ∈ G gilt:

f(g1 ∗g2)=f(g1)•f(g2).

Seien (G, ∗) und (H, •) Gruppen mit neutralen Elementen eG bzw. eH . Sei f : G → H ein Homomorphismus. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

(i) Das neutrale Element von G wird auf das von H abgebildet, d.h. f(eG) = eH.

(ii) Für alle g ∈ G gilt f(g^−1) = (f(g))^−1.

(iii) Ist f bijektiv, dann ist auch die Umkehrabbildung f^−1 : H → G ein Homomorphismus.

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe gar nicht weiter. Kann mir da jmd. den kompletten Lösungsansatz zeigen und dies vielleicht erklären? Dankeschön im voraus

Answer 1

(i) Ansatz ist \(f(e_G) = f(e_G*e_G)\) und jetzt die Eigenschaft des Homomorphismus anwenden.

(ii) Ansatz ist \(f(e_G) = f(g*g^{-1})\) und die Eigenschaft des Homomorphismus und die Erkenntnis aus (i) anwenden.

Comments

Also i) habe ich jetzt bewiesen, aber ich verstehe ii) immer noch nicht.

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Laut Eigenschaft von Homorphismen ist

      \(f(e_G) = f(g*g^{-1}) = f(g)\cdot f(g^{-1})\).

Laut (i) ist

      \(f(e_G) = e_H\).

Gleichsetzen.

Laut eindeutiger Lösbarkeit von Gleichungen hat die Gleichung

        \(e_H = f(g)\cdot x\)

genau eine Lösung für \(x\).