Bestimmen Sie die Nullstellen von f

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die ganzrationale Funktion f(x) = x^4-3,25x^2+2,25, x e R.

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f

b) Untersuchen Sie f auf Symmetrie

c) Liegen die Punkte P (2|5,25) und Q (0,5|0,75) auf dem Graphen von f?

d) Zeichnen Sie den Graphen von f für -2 < x < 2

e) Welche Verschiebung längs der Achsen muss durchgeführt werden, damit die verschobene Funktion g genau drei Nullstellen besitzt?

f) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von f und h (x) = x^2-1

g) Verschieben Sie h so, dass der Scheitel in P (1|0) liegt

h) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P (0|-1) und Q (1|0)

Problem/Ansatz:

Ich wäre für jede Hilfe und Lösung dankbar, da ich meine meine mündliche Note verbessern möchte.

Comments

Davon ist die Rede:

Funktionen f (blau), g (gelb), h (grün) und verschobene h (braun). Wie sie lauten, steht in dieser Reihenfolge in der ersten Zeile.

Answer 1

b) Untersuchen Sie f auf Symmetrie

x kommt in Funktion nur mit geraden Exponenten vor. Sagt dir das etwas über die Symmetrie?

c) Liegen die Punkte P (2|5,25) und Q (0,5|0,75) auf dem Graphen von f?

Setze die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein und prüfe ob die y-Koordinate herauskommt.

f(2) = 5.25 → Punkt P liegt auf der Funktion

f(0.5) = 1.5 → Punkt Q liegt nicht auf der Funktion

d) Zeichnen Sie den Graphen von f für -2 < x < 2

~plot~ x^4-3.25x^2+2.25 ~plot~

e) Welche Verschiebung längs der Achsen muss durchgeführt werden, damit die verschobene Funktion g genau drei Nullstellen besitzt?

Die Funktion muss um 2.25 Einheiten nach unten verschoben werden.

f) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von f und h(x) = x^2 - 1

x^4 - 3.25·x^2 + 2.25 = x^2 - 1 --> x = ± √13/2 ∨ x = ± 1

Hier auch noch die y-Koordinaten berechnen.

g) Verschieben Sie h so, dass der Scheitel in P (1|0) liegt

h(x) = x^2 - 1 → Scheitel bei (0 | -1)

h2(x) = (x - 1)^2 - 1 + 1

h) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P (0|-1) und Q (1|0)

m = (0 - (-1)) / (1 - 0) = 1

Den y-Achsenabschnitt kann man direkt bei -1 ablesen.

y = x - 1

Answer 2

Subsituieren: x^2=z

z^2-3,25z+2,25= 0

pq-Formel:

z1/2= 13/8+-√(169/64-9/4)

z1/2= 13/8+- 5/8

z1= 18/8 = 9/4

z2= 1

-> x1/2= +-3/2

x3/4 = +-1

Answer 3

Gegeben sei die ganzrationale Funktion \(f(x) = x^4-3,25x^2+2,25\), \(x∈ℝ\)

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f

Weg ohne Substitution:

\(x^4-3,25x^2+2,25=0\)

\(x^4-\frac{13}{4}x^2=-\frac{9}{4}\)

\((x^2-\frac{13}{8})^2=-\frac{9}{4}+(\frac{13}{8})^2=-\frac{144}{64}+\frac{169}{64}=\frac{25}{64}|\sqrt{~~}\)

1.)  \(x^2-\frac{13}{8}=\frac{5}{8}\)

    \(x^2=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}|\sqrt{~~}\)

    \(x₁=\frac{3}{2}\)

    \(x₂=-\frac{3}{2}\)

2.)  \(x^2-\frac{13}{8}=-\frac{5}{8}\)

   \(x^2=1 \)
    \(x₃=1\)
    \( x₄=-1\)