Aloha :)
Für zwei nichtnegative Zahlen \(a,b\ge0\) können wir die Wurzeln ziehen, sodass gilt:$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2-2\sqrt a\,\sqrt b+(\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b\implies\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$$
Damit ausgerüstet betrachten wir:$$S_n=\sum\limits_{k=0}^n\sqrt{a_k\cdot a_{k+1}}\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k+a_{k+1}}{2}=\frac12\sum\limits_{k=0}^na_k+\frac12\sum\limits_{k=0}^na_{k+1}=\frac12\sum\limits_{k=0}^na_k+\frac12\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_{k}$$$$\phantom{S_n}=\frac12\sum\limits_{k=0}^na_k+\frac12\left(\sum\limits_{k=\pink0}^{n+1}a_{k}-\pink{a_0}\right)=\frac12\sum\limits_{k=0}^na_k+\frac12\sum\limits_{k=0}^{n+1}a_k-\frac{a_0}{2}$$
Da nach Voraussetzung \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\to a\) konvergiert, gilt:$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sqrt{a_k\cdot a_{k+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}S_n\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac12\sum\limits_{k=0}^na_k+\frac12\sum\limits_{k=0}^{n+1}a_k-\frac{a_0}{2}\right)=\frac a2+\frac a2-\frac{a_0}{2}<\infty$$
