Aloha :)
Die Beschleunigung des Autos ist bekannt:$$a(t)=3,2-0,16t+0,002t^2=0,002(t^2-80t+1600)=0,002(t-40)^2\quad\left[\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right]$$
1) Wie lange beschleunigt das Auto?
Die Beschleunigungsphase ist nach \(t=40\,\mathrm s\) mit \(a(40)=0\) beendet.
2) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an!
Die momentane Geschwindigkeit \(v(t)\) ist das Integral über die Beschleunigung:$$v(t)=\int a(t)\,dt=\frac{0,002}{3}(t-40)^3+c=\frac{1}{1500}(t-40)^3+c$$wobei wir die Integrationskonstante \(c\) so bestimmen müssen, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v(0)=0\) beträgt:$$0\stackrel!=v(0)=\frac{1}{1500}(0-40)^3+c=-\frac{128}{3}+c\implies c=\frac{128}{3}$$für die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\) gilt daher:$$v(t)=\frac{1}{1500}(t-40)^3+\frac{128}{3}\quad\left[\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\right]$$
3) Bestimme die Höchstgeschwindigkeit n m/2 und km/h!
Das Maximum der Geschwindigkeit \(v(t)\) ist zum Ende der Beschleunigungsphase bei \(t=40\,\mathrm s\) erreicht:$$v_{\text{max}}=v(40)\approx42,67\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\stackrel{(\cdot3,6)}{\approx}153,6\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$$
4) Wie lang ist der Weg, den das Auto bis zum Zeitpunkt t zurücklegt?
Die mittlere Geschwindigkeit \(\overline v\) des Autos während der Beschleunigungsphase beträgt:$$\overline v=\frac{1}{40}\int\limits_{0}^{40}v(t)\,dt=\frac{1}{40}\int\limits_{0}^{40}\left(\frac{1}{1500}(t-40)^3+\frac{128}{3}\right)\,dt=32\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$Während der Beschleunigungsphase von \(t=40\,\mathrm s\) fährt das Auto also:$$s=\overline v\cdot t=32\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\cdot40\,\mathrm s=1280\,\mathrm m$$
5) Wie lang ist der Weg bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit?
siehe 4)
