Tangente an f im Punkt ( Xo / f(Xo) ) bestimmen. Bsp. f(X)=0,5X^2, Xo=4

Question

Bestimme die Tangente an dem Graphen von f im Punkt ( Xo / f(Xo) )

a)f(X)=0,5x^2     Xo=4

b)f(X)=4X^4-X^2   Xo=1

c)f(X)=0,5X^3-X      Xo=-1

d)f(X)= 2X^4+4X3-5X^2     Xo=0,5

Ich weiß leider nicht, wie man die Tangente herausbekommt ( die erte Ableitung bilden und dann...?) Kann mir einer den Lösungsweg  Erklären (schrittweise), so dass ich alle 4 aufgaben nachvolziehen kann?  vielen Dank

Answer 1

Tangenten können immer in folgender Form geschrieben werden:

t(x) = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)

 

a)f(X)=0,5x²     Xo=4

f'(x) = x

t(x) = f'(4) * (x - 4) + f(4) 
t(x) = 4 * (x - 4) + 8
t(x) = 4x - 16 + 8
t(x) = 4x - 8

Das war etwas ausführlicher. Aber so werden auch die anderen Tangentengleichungen berechnet.

 

b)f(X)=4X⁴ - X²   Xo=1

f'(x) = 16x^3 - 2x

t(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1) = 14·x - 11

 

c)f(X)=0,5X³ - X      Xo=-1

f'(x) = 1.5x^2 - 1

t(x) = f'(-1) * (x + 1) + f(-1) = 0.5·x + 1

 

d)f(X)= 2X⁴+4X3-5X²     Xo=0,5

f'(x) = 8x^3 + 12x^2 - 10x

t(x) = f'(0.5) * (x - 0.5) + f(0.5) = -x - 0.125

Answer 2

Kennst du die Punkt-Steigungsform einer Geraden?

Sie lautet:

y = m ( x - x₀ ) + y₀

x₀ und y₀ sind die Koordinaten eines gegebenen Punktes (vorliegend des Punktes, an dem die Tangente und der Graph von f sich berühren) und anstelle von m muss die Steigung der Funktion an der gegebenen Stelle eingesetzt werden, also der Funktionswert der Ableitung.

Angepasst auf die Aufgabe a lautet die Punkt-Steigungsform der Tangenten:

y = f ' ( 4 ) ( x - 4 ) + f ( 4 )

Es ist:

f ( 4 ) = 8

f ' ( 4 ) = 4

also:

y = 4 ( x - 4 ) + 8

= 4 x - 16 + 8

= 4 x - 8

Schaubild:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5x%C2%B2%2C4x-8

 

So geht es auch bei den anderen Aufgaben.