Konvergenz mit Bernoulli

Question

Hallöchen,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe auf Konvergenz/Divergenz zu bestimmen:

\( a_{n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2 n} \)

Und zwar hab ich das ganze ganz gut bei der Aufgabe hinbekommen:

\( a_{n}=\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n} \).

Wir nutzen die bernoulilische Ungleichung und sagen:

\( a_{n}=\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n} \) >= \( \left(1+\frac{n}{\sqrt{n}}\right)\)= 1+\( \sqrt{n} \)

Also ist es konvergent.  

Allerdings irritiert mich das ^2n bei der 1. Aufgabe, bzw. ich weiß nicht wie ich dort die bernoullische Ungleichung aufstellen soll, ich müsste es mal gesehen haben :-)

Vielen Dank!

Comments

Also ist es konvergent.

Wenn \(a_n\ge1+\sqrt n\) ist, dann ist die Folge \(a_n\) nicht beschränkt und deshalb sicher nicht konvergent.

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Hast Recht, hab mich vertan, ich meine divergent gegen Unendlich, n kann ja friedlich bis ins Unendliche wachsen.

Answer 1

Verwende:

n/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1-1/(n+1)

a^(2n) = (a^n)^2

Comments

Ich habe jetzt daraus ((1-\( \frac{1}{n+1} \))\(^{n} \))\( ^{2} \) >= 1-(\( \frac{n}{n+1} \))\( ^{2} \) gemacht.

Daraus folgt >= \( \frac{1}{(n+1)^{2}} \)

also konvergiert es gegen 0.

Stimmt das so?

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Nein, das stimmt nicht. Du hast die Klammer (..)^2 falsch gesetzt.

Ich vermute, ggT wollte Dich darauf hinweisen, mit a_n mit einer bekannten Folge zu vergleichen.

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Meinst du ich hab die Klammern von ((1-\( \frac{1}{n+1} \))\(^{n} \))\( ^{2} \)

falsch gesetzt? Ich überlege seit 10min wieso und komme nicht drauf..

a_n ähnelt der geometrischen Folge.

Tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle.

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$$((1-\frac{1}{n+1})^n)^2\geq (1-\frac{n}{n+1})^2$$

Der rechte Term geht gegen 0, was nichts hilft.