Die sogenannte Lemniskate von Bernoulli ist durch die folgende geometrische Eigenschaft charakterisiert: Sei \(a > 0\) eine positive reelle Zahl und seien\( F_1; F_2\) zwei Punkte in der Ebene (d. h. im \(\mathbb{R}^2\) ), welche den Abstand \(F_1F_2 = 2a\) voneinander haben. Die Lemniskate mit den Parametern (\(a; F_1; F_2\)) ist
die Menge aller Punkte P in der Ebene, für die\( F_1P * F_2P = a\) gilt.
(a) Identi ziere \(\mathbb{R}^2\) mit der komplexen Zahlenebene \(\mathbb {C}\). Zeige: Die Menge
$$L={z\in \mathbb{C}:|z^2-1|=1}$$
ist eine Lemniskate und finde die Parameter (\(a; F_1; F_2\)) . Skizziere L.
(b) De finiere die Funktion
$$z:[0,2*\pi]\rightarrow\mathbb{C}$$
durch:
$$z(t) := \frac{\sqrt(2)\cos(t)}{\sin^2(t)+1}+i*\frac{\sqrt(2)\cos(t)\sin(t)}{\sin^2(t)+1}$$
Veri fiziere, dass \(z(t)\in L\) für alle \(t\in[0,2*\pi]\) gilt.