Lemniskante von Bernoulli

Question

Die sogenannte Lemniskate von Bernoulli ist durch die folgende geometrische Eigenschaft charakterisiert: Sei \(a > 0\) eine positive reelle Zahl und seien\( F_1; F_2\) zwei Punkte in der Ebene (d. h. im \(\mathbb{R}^2\) ), welche den Abstand \(F_1F_2 = 2a\) voneinander haben. Die Lemniskate mit den Parametern (\(a; F_1; F_2\)) ist

die Menge aller Punkte P in der Ebene, für die\( F_1P * F_2P = a\) gilt.

(a) Identi ziere \(\mathbb{R}^2\) mit der komplexen Zahlenebene \(\mathbb {C}\). Zeige: Die Menge

$$L={z\in \mathbb{C}:|z^2-1|=1}$$

ist eine Lemniskate und finde die Parameter  (\(a; F_1; F_2\)) . Skizziere L.

(b) De finiere die Funktion

$$z:[0,2*\pi]\rightarrow\mathbb{C}$$

durch:

$$z(t) := \frac{\sqrt(2)\cos(t)}{\sin^2(t)+1}+i*\frac{\sqrt(2)\cos(t)\sin(t)}{\sin^2(t)+1}$$

Veri fiziere, dass \(z(t)\in L\) für alle \(t\in[0,2*\pi]\) gilt.

Answer 1

| z^2 - 1 | = 1

| ( z-1) * ( z+1) | = 1

| ( z-1)| *| ( z+1) | = 1

also gilt für die Abstaände von z zu P1(1;0) und P2(-1;0)

zP1*zP2= 1

und damit sind die Parameter F1(-1;0)  F2(1;0) und a = 1.