Konvergenz mit Bernoulli

Question

Hallöchen,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe auf Konvergenz/Divergenz zu bestimmen:

$a_{n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2 n}$

Und zwar hab ich das ganze ganz gut bei der Aufgabe hinbekommen:

$a_{n}=\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n}$.

Wir nutzen die bernoulilische Ungleichung und sagen:

$a_{n}=\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n}$ >= $\left(1+\frac{n}{\sqrt{n}}\right)$= 1+$\sqrt{n}$

Also ist es konvergent.  

Allerdings irritiert mich das ²ⁿ bei der 1. Aufgabe, bzw. ich weiß nicht wie ich dort die bernoullische Ungleichung aufstellen soll, ich müsste es mal gesehen haben :-)

Vielen Dank!

Comments

Also ist es konvergent.

Wenn $a_n\ge1+\sqrt n$ ist, dann ist die Folge $a_n$ nicht beschränkt und deshalb sicher nicht konvergent.

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Hast Recht, hab mich vertan, ich meine divergent gegen Unendlich, n kann ja friedlich bis ins Unendliche wachsen.

Answer 1

Verwende:

n/(n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1-1/(n+1)

a^(2n) = (aⁿ)²

Comments

Ich habe jetzt daraus ((1-$\frac{1}{n+1}$)$^{n}$)$^{2}$ >= 1-($\frac{n}{n+1}$)$^{2}$ gemacht.

Daraus folgt >= $\frac{1}{(n+1)^{2}}$

also konvergiert es gegen 0.

Stimmt das so?

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Nein, das stimmt nicht. Du hast die Klammer (..)² falsch gesetzt.

Ich vermute, ggT wollte Dich darauf hinweisen, mit a_n mit einer bekannten Folge zu vergleichen.

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Meinst du ich hab die Klammern von ((1-$\frac{1}{n+1}$)$^{n}$)$^{2}$

falsch gesetzt? Ich überlege seit 10min wieso und komme nicht drauf..

a_n ähnelt der geometrischen Folge.

Tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle.

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$$((1-\frac{1}{n+1})^n)^2\geq (1-\frac{n}{n+1})^2$$

Der rechte Term geht gegen 0, was nichts hilft.