Wronski-Abbildungen die nicht invertierter sind

Question

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

a) Zeige, dass für jedes  d ∈ ℕ_≥2  neben  (0 _ℝ^d×d) _t ∈ I weitere Wronski-Abbildungen existieren, die zu keinem Zeitpunkt invertierter sind.

b) Zeige, dass eine Wronski-Abbildung  M , die zu einem Zeitpunkt invertierbar ist, an allen Zeitpunkten invertiert werden kann.

Ich weiß:

Durch $$ A : I → ℝ^{d×d} $$ sei ein homogenes lineares DGP auf $$ ℝ^d $$ gegeben.

Wronski - Abbildungen sind Lösungen der Matrix - Differentialgleichung $$ M'(t) = A(t)M(t) $$ von $$ I $$ nach $$ ℝ^d $$.

Wie zeige ich die beiden Aufgaben? Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

ich weiß nicht, ob a) einen tieferen Sinn hat. Aber wenn ich eine Wronski-Abbildung M mit einer konstanten Matrix C multipliziere, dann ist \(t \mapsto M(t)C\) auch eine Wronski-Abbildung. Wenn C singulär ist, ist es auch M(t)C.

Ich zeige die umgekehrte Aussage: Sei M(s) für ein s in I singulär, dann existiert ein \(v \in \R^d\), \(v \neq 0\), so dass \(M(s)v=0\). Dann ist \(y(t):=M(t)v\) eine Lösung des AWP \(x'=Ax, x(s)=0\). Dieses AWP hat die triviale Lösung \(x(t)=0\). Also gäbe es eine zweite Lösung, nämlich y. Es seie denn y ist gleich x, also überall 0. Dann wäre M(t) überall singulär.

Gruß Mathhilf