Zeigen Sie, dass (G, \odot) eine Gruppe ist.

Question

Sei

\( G:=\left\{A \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}): A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & 1 \end{array}\right) \text { für } a, b \in \mathbb{R}\right\} \)
Zeigen Sie, dass \( (G, \odot) \) eine Gruppe ist. Prüfen Sie, ob \( (G, \odot) \) abelsch ist.

Comments

Es reicht wenn du zeigst dass G eine Untergruppe von GL(2,ℝ) ist. Schlag das Untergruppenkriterium nach und rechne nach.. Abelsch kannst du dir dann im Anschluss überlegen.

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Könntest du einen teil vorrechnen ?

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Das neutrale Element - also die Einheitsmatrix - ist in G drin, da du a=1 und b=0 setzen kannst.

Vorüberlegeung: Für alle Elemente in G ist a≠0 da die Matrix sonst Rang 1 hat und insbesondere nicht invertierbar wäre.

Seien nun A, B in G. Warum liegt dann auch \( A^{-1} \cdot B \in G \)? Bestimme einfach das Inverse von A, multipliziere mit B und du wirst feststellen, dass das Ergebnis die vorgegebene Form hat..