Exponentialfunktion Anfangswert ermitteln. Nach 2.5 Tagen 10 Millionen Salmonellen.

Question

leider finde ich zu folgender Aufgabe keine Lösung. Vielleicht kann mir jemand helfen.

Nach einem Einkauf wurde eine Sechserpackung Eier in der Einkaufstasche vergessen. Die Salmonellen vermehren sich mit einer Wachstumsrate von 5%. Nach zweieinhalb Tagen befinden sich in einem Ei 10 Millionen Salmonellen.

Bestimme die Anzahl der Salmonellen vor diesen zweieinhalb Tagen und gebe den Unterschied der Anzahl der Salmonellen in Prozent an.

Formalen zum Wachstum finde ich zwar, aber keine, die den Anfangswert ermittelt.

 

Anni

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Nachfrage :

" Die Salmonellen vermehren sich mit einer Wachstumsrate von 5% "
5 % Wachstum in welcher Zeiteinheit ? por Tag ? pro Stunde ?
Ich vermute einmal pro Stunde.

mfg Georg

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Die Eier wurden gekauft und in der Einkaufstasche vergessen. Zu diesem Zeitpunkt n = 0 vermehren sich die Salmonellen noch nicht, aber zum Zeitpunkt n = 1 tummeln sie sich bereits, sie sind nämlich von Null um 5 % auf 105 % ausgehend vom Vorgänger, also a(n-1) gestiegen. Nach zweieinhalb Tagen befinden sich 10 Mio Salmonellen in einem Ei, d.h. für n = 2,5 (in Tagen) = 60 (in Stunden) ist a(n) = 10 Mio (Anzahl Salmonellen je Ei). Das exponentielle Wachstum entspricht der geometrischen Folge.

Wie groß ist n an zwei Tagen (an einem an keinem Tag) in Stunden ausgedrückt?

Wie groß ist n demnach vor diesen zweieinhalb Tagen?

Weiter formalisiert ... wie groß ist der Wachstumsfaktor q?

Welches Bildungsgesetz ist anwendbar?

Wie groß ist a(n=2), a(n=1), a(n=0) für ein faules Ei?

Wie groß ist a(n=2), a(n=1), a(n=0) für alle sechs faulen Eier?

Wenn der Grundwert a(n=0) wäre und der Prozentwert a(n=2,5) wäre, würde es einen Unterschied machen, ob es sich um ein oder sechs faule Eier handelt?

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Da der Endwert in Tagen angegeben ist, wird sich vermutlich der Zuwachs auch auf Tage beziehen.

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Ich möchte mich bei allen für eure Antworten bedanken. Ihr habt mir sehr weitergeholfen, da dieser Bereich der Mathematik überhaupt nicht mein Ding ist und ich kurz vorm Verzweifeln stand. !!!!!!!

Anni

Answer 1

Nach einem Einkauf wurde eine Sechserpackung Eier in der Einkaufstasche vergessen. Die Salmonellen vermehren sich mit einer Wachstumsrate von 5%. Nach zweieinhalb Tagen befinden sich in einem Ei 10 Millionen Salmonellen.

Wenn man von 5% pro Stunde ausgeht dann lautet die Funktion

y = a * 1.05^x

Bestimme die Anzahl der Salmonellen vor diesen zweieinhalb Tagen und gebe den Unterschied der Anzahl der Salmonellen in Prozent an.

10 * 1.05^{-2.5*24} = 0.5353552374 Millionen Salmonellen

10 / 0.5353552374 - 1 = 1768%

Jetzt sind es 1768% mehr Salmonellen als zu Beginn.

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Danke noch einmal für Deine Antwort.

Answer 2

  ich beantworte die Fragen für die Angabe des Wachstums in Stunden

  Als Beispiel für ein exponentielles Wachstum wähle ich die Kapitalverzinsung
Zinssatz 5 %
  A = Anfangskapital ; hier 1000 €l
  t = Zeit in Jahren, hier 5 Jahre
Endkapital = Anfangskapital * ( 1 + Zinssatz )^t
  Endkapital = 1000 * 1.05^5
  Endkapital = 1000 * 1.276
  Endkapital = 1276 €

  Bei deinem Beispiel
  t = 2.5 * 24 h = 60 h
  Bakterienanzahl nach 2.5 Tagen = 10.000.000
  5 % Wachstum  pro Stunde
  A = Anfangsbestand
  10000000 = A * 1.05^60
  A = 10000000 / 1.05^60
  A = 10000000 / 18,679
  A = 535355

  Unterschied ( Ende - Anfang ) bezogen auf den Anfang
  10000000 - 535355 = 9464645
  9464645 / 535355 = 17.68  entspricht 1768 %

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg

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Danke für die ausführliche Erklärung. Wenn es okay ist, würde ich bei weiteren Fragen auf Dich zurückgreifen.

MfG

Anni

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Der Ansatz bzw. der Lösungsweg von Georg ist soweit gut und richtig.

Allerdings ist das Ergebnis, der Anfangsbestand gerundet.

Was nicht so ganz passt, ist die Überlegung, dass zu Beginn des Salmonellenwachstums gar keine Salmonellen da sind!?

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@gast hi53

  Mir ist bekannt das heute Veilchendienstag ist. Entweder du hast
schon genug Alkohol getrunken oder du willst hier  ver...schen.

 Dein Kommentar :
 " Allerdings ist das Ergebnis, der Anfangsbestand gerundet. " Salmonellen
kommen nur in ganzen Einheiten vor. 1/2 Salmonelle gibt es nicht.

  " Was nicht so ganz passt, ist die Überlegung, dass zu Beginn des
Salmonellenwachstums gar keine Salmonellen da sind!? "
  Wenn keine einzige Salmonelle vorhanden ist hätte auch
kein Wachstum statfinden können.

  Ich habe deine Antwort ( die ja gar keine ist ) als Spam gemeldet .

  Georg

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Hallo Georg,

zur Info, ich schrieb einleitend: "Der Ansatz bzw. Lösungsweg von Georg ist soweit gut und richtig".

Sicherlich haben Sie das überlesen.

Ihren weiteren Kommentar brauch und will ich nicht kommentieren. Meine Antwort, auf die sie sich beziehen, ist selbsterklärend und soll zum Nachdenken (der Fragestellerin) anregen!

Dass Sie sich dadurch veräppelt fühlen, kann ich nur bedingt nachvollziehen.(?)

Frage an Sie, Georg: was ist Spam? Was ist eine Hilfe für Fragende?

Freundliche Grüße,

noch "hi53"

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Wenn ich mich mal frech einmischen darf: Wenn zu Beginn keine Salmonellen da wären, würden sie sich auch nicht vermehren können (darin liegt ja die Natur der Exponentialfunktion). Es wären dann auch nach 2,5 Tagen keine Salmonellen da.

Soweit ich weiß, liegt es aber in der Natur des eierlegenden Huhns, dass es dem Ei die Erreger mit auf den Weg gibt und diese sich nur bei sachgerechter Lagerung oder Brütung nicht oder nur sehr langsam vermehren können. Die Erreger entstammen quasi dem Huhn. Wie sollten sie auch sonst das Ei befallen können? (*)

Mathematisch gesehen bleibt das Problem von der Größenordnung unabhängig, wenn man bei der Salmonellenzahl einen Nachkommateil erlaubt. Beim der vorliegenden "Instanz" des Problems ist die Größenordnung allerdings so groß, dass man getrost auch runden kann.

Stellen Sie sich vor, Sie hätten zehn Millionen Euro. Da wäre einer mehr oder weniger auch nicht so wichtig. Selbiges gilt für 10.000.000 Salmonellen.

PS: (*) Nagut, vielleicht noch durch unsachgemäße Lagerung.

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Der Rundung stimme ich zu, diese wurde jedoch nicht als solche gekennzeichnet..

Ihre Erklärungen stimmen natürlich auch. ;-)

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Rundungen, die nicht als solche gekennzeichnet sind - man könnte wirklich meinen, Sie sitzen gerade an einem Stammtisch :)

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Gehts noch, Mister?

Mathe sollte verständlich, aber auch korrekt sein!

Sollten Sie anderer Meinung sein, so bitte ich um Stammtischgetue mit Abwanderung im Sinne der Fragesteller zum trallala ... lalala. Danke vielmals! :-)

DORT dürfen Sie nach Belieben unsinnig rumstänkern!

Answer 3

Ich bin ein wenig verwirrt, wegen der heftigen Diskussion. Ich wollte mit meiner Frage hier nichts lostreten.

Für mich waren die Ansätze und die Wege zur Lösung sehr wichtig, da ich nicht wusste, wie ich überhaupt beginnen sollte.

Deshalb noch einmal Danke an alle für ihre Mühe und Hilfe.


Anni