Bestimme Basen von U1 + U2, U2 + U3, U1 + U2 + U3.

Question

In R^(4×1) seien drei Unterräume U1 = [a], U2 = [{b, c}], U3 = [{b, a}] gegeben mit
a = (0, 1, 1, 0)^T, b = (1, 0, 0, 1)^T, c = (0, 1, 0, 0)^T.
Bestimme Basen von U1 + U2, U2 + U3, U1 + U2 + U3. Welche dieser Summen sind direkt?

Ich hätte eine Frage zur Angabe. Bei U1+U2= {u1+u2|u1∈[a] und u2∈[{b,c}]}. [a] ={λ1*(0,1,1,0)^T|λ1∈R} und [{b,c}]= {λ2*(1,0,0,1)^T, λ3*(0,1,0,0)^T|λ2, λ3∈R}.

U1+U2 ={λ1*(0,1,1,0)^T+λ2*(1,0,0,1)^T + λ3*(0,1,0,0)^T} .Ist der Ausdruck [{b,c}] richtig interpretiert worden oder wie genau ist dieser gemeint?

Answer 1

.Ist der Ausdruck [{b,c}] richtig interpretiert worden ?

Nicht ganz, das ist

[{b,c}]= {λ2*(1,0,0,1)T +  λ3*(0,1,0,0)T|λ2, λ3∈R}.

also alle Linearkombinationen aus b und c.

Bei U1+U2 hast du es dann aber korrigiert.

Comments

ok vielen dank. Hätte ich eigentlich schon mit {(0,1,1,0)^T, (1,0,0,1)^T, (0,1,0,0)^T} meine Basis?

---

Ja, die sind ja lin. unabh.

---

Bei der direkten Summe muss man prüfen,ob U1∩U2= {0}. Ich habe λ1*(0,1,1,0)={0,λ1,λ1,0}, λ3*(0,1,0,0)^T= {0, λ3,0,0}, λ2*(1,0,0,1)^T = {λ2,0,0,λ2}. Der Schnitt dieser Mengen ist null, demnach ist die Summe direkt oder lieg ich hier falsch?

---

Alles klar !

---

Bei U1 + U2 + U3 ist dann keine direkte Summe vorhanden, weil zbsp U3∩(U1+U2) ja nicht erfüllt ist.