Zeigen Sie, dass für alle n element N die Gleichung f(n) = n + 1 / n gilt.

Question

Aufgabe: Es sei f : N -> Q definiert durch f(1) = 2 und f(n + 1) = 2 -( 1/f(n)) für n >= 1. Zeigen Sie, dass für alle n element N die Gleichung f(n) = n + 1 / n gilt.

Problem/Ansatz:

Vielleicht mit Induktion?

Answer 1

Vielleicht mit Induktion? Klar, für n=1 stimmt es ja f(1) = 2 = (1 + 1) /1.

War wohl f(n) = (n + 1) / n.

Wenn es für n stimmt, dann

\(  f(n+1) = 2 - \frac{1}{f(n)}=2 - \frac{1}{\frac{n+1}{n}}=2 - \frac{n}{n+1} \)

\( =\frac{2n+2}{n+1} - \frac{n}{n+1} =\frac{n+2}{n+1}  \)

Und das ergibt sich ja bei \( \frac{n+1}{n}  \) wenn man n durch n+1 ersetzt. q.e.d.