Zeige, dass für alle x,x Element R gilt

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe den Lösungsweg aufzeigen?.

Vielen Dank im Voraus.

Die Aufgabe lautet:

Zeige
\(\max \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)\)
und
\(\min \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|)\)
für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Aloha :)

a) Zum Maximum:$$x\ge y\quad\Rightarrow\quad \frac{x+y+|x-y|}{2}=\frac{x+y+(x-y)}{2}=\frac{2x}{2}=x\quad\checkmark$$$$x<y\quad\Rightarrow\quad \frac{x+y+|x-y|}{2}=\frac{x+y+(y-x)}{2}=\frac{2y}{2}=y\quad\checkmark$$

b) Zum Minimum:$$x\le y\quad\Rightarrow\quad \frac{x+y-|x-y|}{2}=\frac{x+y-(y-x)}{2}=\frac{2x}{2}=x\quad\checkmark$$$$x>y\quad\Rightarrow\quad \frac{x+y-|x-y|}{2}=\frac{x+y-(x-y)}{2}=\frac{2y}{2}=y\quad\checkmark$$