Körper , Polynomdivision , Polynomfunktion

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, und sei p = \( \sum\limits_{k=0}^{\ n}{} \) a_kX^k  ein Polynom sowie f_p : K → K , f_p(x) := \( \sum\limits_{k=0}^{\ n}{} \) a_kX^k die zu p gehörende Polynomfunktion. Zeigen Sie: Wenn X₀ ∈ K eine Nullstelle von f_p ist, d. h. f_p(X₀) = 0, dann lässt sich p im Polynomring Pol_K ohne Rest durch das Polynom X − x₀ teilen.

Problem/Ansatz:

Komme wie immer hier nicht weiter. Bitte um Hilfe :(

Answer 1

Die Polynomdivision liefert

        \(p = q\cdot (X - x_0) + r\)

mit \(q,r\in \operatorname{Pol}_K\) und \(\operatorname{Grad}(r) < \operatorname{Grad}(X-x_0)\).

Weil \(p\) und \(q\cdot (X - x_0)\) bei \(x_0\) eine Nullstelle haben, hat auch \(r\) bei \(x_0\) eine Nullstelle.

Comments

Vielen vielen Dank , werde versuchen es umzusetzen.

---

ich kann leider damit nichts anfangen. Kannst du es bitte genauer erklären

---

\(p = q\cdot (X - x_0) + r\)

Der Rest, von dem in der Aufgabenstellung die Rede ist, ist \(r\).

Begründe warum \(r = 0\) ist.