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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt \( P(16|-13|-3) \) zu der Geraden
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 3 \\ -5 \\ -2 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r} -5 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right), \quad t \in \mathbb{R} \)
Bestimmen Sie zunächst den Lotfußpunkt \( L \) des Punktes \( P \) auf der Geraden \( g \).
\( L=(\square \text { l } \)
Wie groß ist der Abstand \( d(P, g) \) von \( P \) zu \( g \) ?
\( d(P, g)= \)
Hinweis:
- Eingabe von \( \sqrt{a} \) durch sqrt(a).

Problem/Ansatz:

Was ist hier die richtige Lösung Leute ? Habe bei L= 6/3/15??

Und wie groß ist der Abstand ??

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Ich habe etwas anderes für den Lotfußpunkt heraus.

([3, -5, -2] + r·[-5, 4, 3] - [16, -13, -3])·[-5, 4, 3] = 0 --> r = -2

L = [3, -5, -2] - 2·[-5, 4, 3] = [13, -13, -8]

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ok danke dir, jetzt weiß ich wenigstens das ich es falsche hatte

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Aloha :)

$$g\colon\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}3\\-5\\-2\end{pmatrix}}_{=\vec a}+t\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}}_{=\vec v}\quad;\quad P(16|-13|-3)$$

Schritt 1: Ziehe einen Hilfs-Vektor \(\vec h\) vom Ankerpunkt \(A\) der Geraden zum Punkt \(P\):$$\vec h=\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}16\\-13\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-8\\-1\end{pmatrix}$$

Schritt 2: Projeziere diesen Hilfsvektor auf den Richtungsvektor der Geraden:$$\vec h_\parallel=\pink{\left(\frac{\vec h\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\right)\vec v}=\left(\frac{\begin{pmatrix}13\\-8\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}}\right)\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}=\frac{-100}{50}\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-8\\-6\end{pmatrix}$$Daraus ergibt sich folgender Lotfußpunkt:$$\vec\ell=\vec a+\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}13\\-13\\-8\end{pmatrix}$$

Schritt 3: Bestimme den Anteil des Vektors \(\vec h\), der senkrecht auf der Geraden \(g\) steht:$$\vec h_\perp=\vec h-\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}13\\-8\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\-8\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\5\end{pmatrix}$$Die Länge dieses Vektors ist der gesuchte Abstand:$$d=\|\vec h_\perp\|=\sqrt{3^2+0^2+5^2}=\sqrt{19}$$

Das eigentlich wichtige bei dieser Art von Aufgaben ist die \(\pink{\text{pinke Projektionsformel}}\).

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