Aloha :)
$$g\colon\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}3\\-5\\-2\end{pmatrix}}_{=\vec a}+t\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}}_{=\vec v}\quad;\quad P(16|-13|-3)$$
Schritt 1: Ziehe einen Hilfs-Vektor \(\vec h\) vom Ankerpunkt \(A\) der Geraden zum Punkt \(P\):$$\vec h=\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}16\\-13\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-8\\-1\end{pmatrix}$$
Schritt 2: Projeziere diesen Hilfsvektor auf den Richtungsvektor der Geraden:$$\vec h_\parallel=\pink{\left(\frac{\vec h\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\right)\vec v}=\left(\frac{\begin{pmatrix}13\\-8\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}}\right)\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}=\frac{-100}{50}\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}-5\\4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\-8\\-6\end{pmatrix}$$Daraus ergibt sich folgender Lotfußpunkt:$$\vec\ell=\vec a+\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}13\\-13\\-8\end{pmatrix}$$
Schritt 3: Bestimme den Anteil des Vektors \(\vec h\), der senkrecht auf der Geraden \(g\) steht:$$\vec h_\perp=\vec h-\vec h_\parallel=\begin{pmatrix}13\\-8\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\-8\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\5\end{pmatrix}$$Die Länge dieses Vektors ist der gesuchte Abstand:$$d=\|\vec h_\perp\|=\sqrt{3^2+0^2+5^2}=\sqrt{19}$$
Das eigentlich wichtige bei dieser Art von Aufgaben ist die \(\pink{\text{pinke Projektionsformel}}\).
