Lage einer Geraden zu einer Ebenenschar

Question

versuch mich gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Ebenenschar Ea: 2ax1-(1-a)x2+x3-2a=0 und die Gerade g: x=(1;-2;-10)+λ(1;-1;3).

1. Für welche Werte von a schneidet die Gerade g die Ebene Ea? Berechnen sie den Schnittpunkt.

Zu 1.
Hab mir gedacht, dass der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden sein muss, damit die Gerade die Ebene nie schneidet. Also Normalenvektor * Richtungsvektor = 0. a muss ungleich -2/3 sein, damit sie sich schneiden. Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich den Schnittpunkt ausrechnen soll. Eigentlich ja immer die komplette Gerade in die Ebenengleichung einsetzen. Hab ich gemacht, kommt allerdings eine Gleichung mit 2 unbekannten (a und λ) raus.
Hoffe jemand kann mir helfen.

Comments

gerade in ebenenschar einfügen und nach a auflösen fertig

->

a=(-2/(-5t+20))-t/(-5t+20)

Answer 1

Ich schreibe das mal mit x, y und z

Gegeben ist die Ebenenschar

Ea: 2·a·x - (1 - a)·y + z - 2·a = 0

und die Gerade

g: x = [1, -2, -10] + r·[1, -1, 3] = [r + 1, -r - 2, 3·r - 10]

 

Du kannst die gerade in Ea einsetzen

2·a·x - (1 - a)·y + z - 2·a = 0
2·a·(r + 1) - (1 - a)·(-r - 2) + (3·r - 10) - 2·a = 0
a·r - 2·a + 4·r - 8 = 0
(a + 4)·r = 2·a + 8
r = (2·a + 8) / (a + 4) = 2

Aber Achtung in der letzten Zeile ist Vorsicht geboten. a darf dort nicht -4 sein. Warum nicht ? Was passiert für a = -4 ?

Wenn r = 2 ist lautet der Schnittpunkt

x = [2 + 1, -2 - 2, 3·2 - 10] = [3, -4, -4]

Comments

Wenn a -4 wird, würde man durch Null teilen. Also schneidet die Gerade g die Ebene für a ist ungleich -4?
Aber wo liegt denn der Fehler bei meiner Überlegung, dass der Richungsvektor der Geraden nie Senkrecht zum Normalenvektor der Ebenen sein darf. Falls sie senkrecht sind, würden sie sich ja ebenfalls nie schneiden, oder?

---

Du kannst auch so wie du meinst rechnen. Nur gibt dir das eben keinen Schnittpunkt

 

Normalenvektor * Richtungsvektor = 0

[2·a, - (1 - a), 1] * [1, -1, 3] = 0
a + 4 = 0
a = -4

Wenn a also -4 ist dann ist die Gerade echt oder unecht parallel zur Ebene.

 

Wie gesagt gibt dieses nur den hinweis auf a, nicht aber auf den Schnittpunkt. Daher müsste man jetzt den Schnittpunkt eh wie ich oben gerechnet habe ausrechnen. Also kann man auch gleich nur den Schnittpunkt so wie oben ausrechnen.

---

Die Aufgabe war es ja, anzugeben, für welche Werte von a die Gerade g die Ebene Ea schneidet. Also schneidet die Gerade die Ebene immer für a ungleich -4.

---

Ja. und für a = -4 liegt die Gerade in der Ebene. Das war aber nicht gefragt. Trotzdem musst du ja den Schnittpunkt berechnen und das bekommt man über das Gleichsetzen am besten hin.